четвер, 10 липня 2014 р.

Комбінація циліндра і призми. Приклади задач

Комбінація циліндра і призми. Приклади задач 

№1. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом β при вершині. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює  і нахилена до площини основи під кутом . Визначити повну поверхню циліндра, описаного навколо призми.
Зауваження: Для розв'язання задачі достатньо розглянути малюнок призми, оскільки висота циліндра співпадає з висотою призми (пряма). Описувати коло (див. означення) навколо основи призми немає необхідності.

Розв'язання.
Нехай Δ ABC - рівнобедрений, з кутом  при вершині. Діагональ бічної грані, що містить основу трикутника AC1=, кут нахилу відрізка АС1 до площини основи .
Оскільки призма пряма, будемо вважати відрізок СС1 висотою призми і циліндра: H=CC1.
З      (1)
Скористаємося формулою  для обчислення радіуса основи циліндра.
Запишемо    (2)
Повна поверхня циліндра . Підставивши значення рівностей (1) та (2), маємо:
Відповідь: 

№2. Основа прямої призми - ромб зі стороною  і кутом , який утворює ця сторона з більшою діагоналлю ромба. Менша діагональ призми утворює з площиною основи кут . Визначити об'єм циліндра, вписаного в цю призму.
Розв'язання.
Розглянемо основу прямої призми ABCDA1B1C1D1. В основі ромб ABCD, нехай AC - більша, а BD - менша його діагоналі. Тоді  - кут між меншою діагоналлю призми і площиною основи.
Покладемо , де  - висота призми і циліндра.
Розглянемо трикутник : в ньому , тоді .
З   маємо:
. (1)
Оскільки циліндр вписаний в призму, то круг, що знаходиться в основі циліндра, вписано в ромб. Розглянемо малюнок.
В ромбі  відрізок  є радіусом вписаного кола в ромб. Бачимо, що для знаходження можна розглянути , в якому знайдено раніше відрізок , а . Отже, .
 (2) (Зауваження ).
Обчислимо об'єм циліндра, підставляючи значення з рівності (1) та (2):
.


Відповідь: .

Немає коментарів:

Дописати коментар