Перерізи конуса площинами.

Перерізи конуса площинами.

Переріз конуса площиною, який проходить через його вісь, називають осьовим перерізом (мал. 490). Осьовий переріз конуса - рівнобедрений трикутник, основа якого - діаметр конуса, а бічні сторони - твірні конуса. Висоти цього рівнобедреного трикутника співпадає з висотою конуса. На малюнку 490 трикутник QАВ - осьовий переріз конуса, АВ - діаметр конуса, QА і QВ - твірні конуса, QО - висота конуса.

Якщо осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник, його інколи називають рівностороннім (або рівнобічним, або рівнобедреним).

Приклад 1. Довжина кола основи конуса дорівнює 4π см. Знайти площу осьового перерізу конуса, якщо він є прямокутним трикутником.

Розв’язання. 1) Нехай QАВ - осьовий переріз конуса, BQA = 90° (мал. 490).

2) Позначимо ОВ = ОА = r. За умовою 2πr = 4π, тоді r = 2 см.

3) ∆QАВ - рівнобедрений прямокутний:

Переріз конуса площиною, яка є паралельною до площини основи є круг (мал. 491). Центр цього круга - точка О, знаходиться на осі конуса.

Приклад 2. Висота конуса дорівнює 9 см, а радіус основи - 6 см. На відстані 3 см від вершини конуса проведено переріз площиною, паралельною до основи конуса. Знайти площу цього перерізу.

Розв’язання. 1) За умовою задачі OQ = 9 см, АО = 6 см, QО₁ = 3 см (мал. 491).

2) ∆QА₁O₁  ∆QАО (за двома кутами), тоді 

3) Тоді площа перерізу 

Перерізом конуса площиною, який проходить через вершину конуса, є рівнобедрений трикутник, бічними сторонами якого є твірні конуса. На малюнку 492 трикутник QСD - переріз конуса площиною, що проходить через вершину конуса Q. Його бічні сторони - твірні QС і QDконуса, а основа - хорда основи конуса СD.

Приклад 3. Через вершину конуса проведено переріз, який нахилений до площини основи під кутом 60°. Знайти висоту конуса, якщо відстань від центра основи хорди, по який переріз перетинає основу, дорівнює 4 см.

Розв’язання. 1) Нехай QСD - переріз, про який йде мова у задачі (мал. 493).

2) ∆QСD - рівнобедрений, СD - його основа, проведемо QК - висоту і медіану ∆QСD.

3) Оскільки QК  СD і ОК - проекція QК на площину основи, то за теоремою про три перпендикуляри, матимемо ОК  СD.

4) Тоді ОК - відстань від точки О до хорди СD, ОК = 4 см (за умовою).

5) Оскільки QК  СD і ОК  СD, то площина DQК перпендикулярна хорді СD, тому QКО - кут нахилу перерізу QСD до площини основи. За умовою QКО = 60°.

Додаткові відомості про конічні перерізи