Конус. Приклади задач

Конус.

Приклади задач

№1. Кут між висотою і твірною конуса 60°, висота конуса – H. Знайти площу перерізу, проведеного через дві взаємно перпендикулярні твірні.

Розв’язання.

Нехай кут між висотою і твірною конуса , висота .

Нехай існують дві взаємно перпендикулярні твірні, тоді площа цього перерізу буде знаходитись як півдобуток твірних.

З .

Отже, .

Відповідь: .

№2. В конусі проведено два перерізи, паралельні основі, які ділять висоту конуса на три рівні частини. Знайти відношення їх площ.

Розв’язання.

Проведемо два перерізи в конусі, паралельно основі, причому так, що центри цих кіл О₂ і О₃ ділять висоту конуса на три рівні частини. Тоді радіус круга з центром О₂ дорівнює , а радіус круга з центром О₃   –  (Це випливає з подібності трикутників ; ; ).

Тоді, позначивши площі перерізів  і , маємо

;

або .

Відповідь:  або .

№3. Радіус основи конуса R, кут нахилу твірної до площини основи - . Площина проходить через вершину конуса і перетинає основу під кутом . Знайти площу перерізу.

Розв’язання.

Нехай , ,  – площина перерізу, що проходить через вершину конуса.

Проведемо  (т. K – середина AB), тоді за теоремою про три перпендикуляри , а отже,  – кут між перерізом та площиною основи. Знайдемо площу .

З :  

                 

З :  

З :  ;  

;

Тоді ; 

         .   З рівностей (3); (4) 

.

Відповідь: .

№4. Точки А, B i C належать різним твірним конуса. Побудуйте точку перетину площини ABC із заданою твірною (або її продовженням), яка не проходить через жодну з даних точок.

Побудова.

Нехай точки А, B і C належать різним твірним конуса, вони означують деяку площину . MK – задана твірна, яка не проходить через жодну з даних точок.

Для побудови скористаємося методом «слідів»:

1)      Спроектуємо точки A, B, C в площину основи конуса, отримаємо точки A₁, B₁, C₁.

2)      Проведемо через точки A, C та  A₁, C₁ прямі  до перетину в т. S₁. Аналогічно з  точками A, B  і  A₁, B₁ до перетину в т. S₂.

3)      Через точки S₁ і S₂ проведемо пряму s, яка є слідом січної площини  в площині основи конуса.

4)      Сполучимо точки A₁ і K, продовжимо до перетину з прямою s в точці S₃.

5)      Сполучимо точки A і S₃, на перетині з твірною MK маємо точку N.

6)       N  належить площині , твірній MK, тобто є шуканою.

Доведення проведіть самостійно.

№5. Твірна зрізаного конуса дорівнює 2a і нахилена до основи під кутом 60°. Радіус однієї основи вдвічі більше радіуса другої основи. Знайти кожний радіус.

Розв’язання.

Нехай твірна зрізаного конуса , а кут нахилу твірної до площини основи конус . Користуючись умовою, .

Опустимо з точки B в площину нижньої основи перпендикуляр, , тоді .

З : ; .

Тоді , .

Відповідь: .