Перерізи конуса площинами

Перерізи конуса площинами

Розглянемо перерізи конуса площиною, яка проходить через вершин S конуса.

1)   2)    

3)   

Якщо площина проходить через вершину конуса, то вона перетинає бічну поверхню або в одній точці (1), або по двом її твірним (2), або має з поверхнею одну спільну твірну, тобто дотикається до даної поверхні (3).

У другому випадку в перерізі отримаємо рівнобедрений трикутник, оскільки твірні конуса рівні. Переріз, який містить вісь конуса називається осьовим.

Розглянемо переріз площиною, яка не містить вершину конуса, а саме, паралельна основі.

Теорема. Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню  – по колу з центром на осі конуса.

Доведення.

Нехай α – площина, паралельна площині основи конуса і перетинає конус.

Перетворення гомотетії відносно вершини конуса, яке суміщає площину α з площиною основи, суміщає переріз конуса площиною α з основою конуса. Отже, переріз конуса площиною є круг, а переріз бічної поверхні – коло з центром на осі конуса.

Теорема доведена.

Якщо розглянути декілька площин, які паралельні площині основи конуса і перетинають бічну поверхню, то в перерізах матимемо гомотетичні круги, центром гомотетії яких є вершина конуса, а модуль коефіцієнта гомотетії (k) дорівнює відношенню відстаней січних площин від вершини конуса.

Випадки розташування січної площини відносно бічної поверхні, що залишилися, можна розділити на три:

1) площина, паралельна осі поверхні;

2) площина, паралельна одній з її твірних;

3) січна площина непаралельна ні осі поверхні, ні її твірним.

В усіх цих випадках площина перетинає конічну поверхню по лініям, які в шкільному курсі геометрії не досліджуються. Це – гіпербола, парабола і еліпс. Історично ці лінії і з’явилися як перерізи конічної поверхні площиною, тому і називаються конічними перерізами. З проникненням в геометрію алгебраїчних методів дослідження, виявилося, що лінії можуть бути представлені рівняннями. Було встановлено, що конічним перерізам відповідають алгебраїчні рівняння другого порядку (прикладом може бути рівняння кола), внаслідок чого ці лінії стали називати лініями другого порядку.

     

 

Якщо обертати прямокутну трапецію навколо прямої, що містить бічну сторону, яка перпендикулярна основам трапеції, то отримаємо тіло, яке називається зрізаним конусом.

Круги, що описуються основами трапеції, називаються основами зрізаного конуса, а відстань між ними - висотою. В нашому випадку це відрізок CB (мал.)

Назва «зрізаний конус» пов'язана з тим, що це тіло можна розглядати і як частину конуса, відсікаємого від нього деякого січною площиною, перпендикулярною осі конуса.

Дайте відповіді на питання:

• 1) Дати означення конуса.
• 2) Який конус називається прямим?
• 3) Дати означення основних понять: радіус конуса, твірна конуса, висота конуса.
• 4) Які перерізи конуса площинами вам відомі?