Взаємне розміщення кулі і площин.

Взаємне розміщення кулі і площин.

Площина α і куля можуть або не мати спільних точок (мал. 501) або мати одну спільну точку (мал. 502) або перетинатися і мати безліч спільних точок (мал. 503).

Нехай ОМ = r — радіус кулі, а О А = d - перпендикуляр, опущений з центра кулі - точка О до площини α (відстань від центра кулі до площини α).

а) Якщо площина α і куля не мають спільних точок, то d > r;

б) Якщо площина α і куля мають одну спільну точку, то d = r;

в) Якщо площина α і куля мають безліч спільних точок, то d < r.

Зауважимо, що обернене твердження також вірне: якщо d > r, то площина і куля не мають спільних точок, якщо d = r, то площина і куля мають одну спільну точку, якщо d < r, то площина і куля мають безліч спільних точок.

Приклад. Радіус кулі дорівнює 4,5 см. Скільки спільних точок має куля із площиною, якщо відстань від центра кулі до площини дорівнює: 1) 4 см, 2) 4(1/2) см, 3) 5 см.

Розв’язання. 1) 4 < 4,5, тому безліч спільних точок.

2) 4(1/2) = 4,5, тому одна спільна точка.

3) 5 > 4, тому жодної спільної точки.

Розглянемо детальніше випадки коли площина і куля мають одну або безліч спільних точок.



Площина дотична до кулі (сфери).

Якщо площина має із кулею (сферою) лише одну спільну точку, то кажуть, що площина дотинається до кулі (сфери).

На малюнку 502 площина α дотинається до сфери, точку А, яка є спільною точкою площини і сфери, називають точкою дотику. Площина, дотична до кулі має властивість, аналогічну властивості дотичної до кола:

дотична до кулі площина перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

На малюнку 502: ОА  α.

Приклад. До кулі радіус якої 8 см проведемо дотичну площину. Не цій площині взято точку М, яка знаходиться на відстані 15 см від точки дотику кулі і площини. Знайти відстань від точки М до центра кулі.

Розв’язання. 1) Нехай куля із центром у точці О дотикається до площини α у точці А, О А = 8 см (мал. 504).

2) М - довільна точка площини α, така, що АМ = 15 см. Треба знайти відстань ОМ.

3) Оскільки ОА  α, то ОАМ = 90°. Маємо