Площа сфери.

Площа сфери.

Сфера

Площа сфери радіуса r обчислюється за формулою:

Приклад. Скільки фарби треба, щоб пофарбувати 10 куль, радіус кожної з яких дорівнює 5 см, якщо на 1 м² витрачається 170 г фарби (округлити до цілих грамів)?

Розв’язання. 1) Площа поверхні однієї сфери 

2) Площа поверхонь 10 куль дорівнює S₁ = 10 ∙ 100π = 1000π (см²). Оскільки 

3) Тоді маса фарби m, яка необхідна для фарбування цих куль m = 0,1π ∙ 170 = 53 (г).

Додаткові відомості про сферу

Сфе́ра (від грец. σφαῖρα — куля) — замкнута поверхня, геометричне місце точок рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери. Сфера є частковим випадком еліпсоїда, у якого всі три півосі однакові.

Властивості сфери

Відрізок, що сполучає центр сфери з її точкою, а також його довжина, називається радіусом; відрізок, що сполучає дві точки сфери — хордою; хорда, що проходить через центр сфери називається її діаметром. Сферу можна розглядати також як поверхню обертання півкола навколо його діаметра. Частина простору, яка обмежена сферою і містить її центр, називається кулею. Переріз сфери довільною площиною є коло. Воно називається великим, коли площина проходить через центр сфери, всі інші перерізи є малими колами.

У сфери найменша площа поверхні з-поміж всіх тіл, що замикають даний об'єм, та найбільший замкнений об'єм при даній площі поверхні. З цієї причини, сфера часто зустрічається у природі: краплі води в невагомості, планети, глобули і т.ін.

Площину (пряму), яка має зі сферою тільки одну спільну точку, називають дотичною площиною (прямою) до сфери. Якщо дві сфери мають тільки одну спільну точку, говорять, що вони дотикаються в цій точці.

Рівняння сфери 

У аналітичній геометрії сфера у декартовій системі координат з координатами центру О(x₀, y₀, z₀) і радіусом r є геометричним місцем усіх точок (x, y, z), що описується рівнянням:

У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як

Сфера довільного радіусу з центром у початку координат задається диференціальним рівнянням:

Це рівняння відображає факт, що вектори швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно ортогональні один до одного.