неділю, 23 квітня 2017 р.

Повторення теми МЕТОД координат для трикутника

Рівняння прямої
що проходить через дві дані точки
М(хM; уM) і NN; уN)
(у – уM):(уN – уM)  = (х – хM):N – хM),
у = (х - хм)(уN ум):(хN - хм) + ум,
Умова належності трьох точок
Аа; уа), Вb; уb), Cc; уc)
одній прямій
хауb + хbуc + хcуa - хcуb хaуc хbуa = 0.
Відстань між двома точками М(хM; уM) і NN; уN)
обчислюється за формулою:
МN =[(хN - хM)2+(уN - уM)2]0,5.
Приклад. Довести, що  трикутник АВС рівнобедрений, прямокутний, якщо А(1;0), В(1;3), С(4;3).
Розв’язання
Знайти довжини сторін
АВ =[(1- 1)2+(3 - 0)2]0,5 = 3.
ВС =[(4- 1)2+(3 - 3)2]0,5 = 3.
АС =[(4- 1)2+(3- 0)2]0,5 = 3(20,5).
Оскільки АВ=ВС, то трикутник АВС – рівнобедрений, первіримо теорему Піфагора:
АВ2 + ВС2 = АС2 ,  32 + 32 = 32(20,5)2,
18=18, виконується теорема Піфагора, а значить трикутник АСВ – прямокутний.
Отже, трикутник АСВ – рівнобедрений і прямокутний.
2. Дано вершини чотирикутника А(6; -1), В(5; 1), С(1; 2) і D(2;-4). Довести, що АС+ВD.

Рівняння прямої у відрізках(канонічна форма)
x+ y:b = 1,
де а і b довжини відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).

Нормальне рівняння прямої
xсоsа + ysinа – p = 0,
де р довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між  перпендикуляром р і додатним  напрямом осі Ох

Загальне рівняння прямої
аx + by + c = 0
де а2+ b2 0
n(a; b)  - нормальний вектор(перпендикулярний до прямої).

Завдання для самостійного дослідження.

-7. Дано три точки А(0; 1),  В(1; 0),  С(1; 1). Який вид трикутника АВС? Знайдіть відстань  від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.  Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного трикутника.
-6. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( -8; 8),  В( -2; 6),  С( 0; -10), D(-6;-8)? .  Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.
-5. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( 4; -4),  В( 1; -3),  С(0; 5), D(-1;4)? Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.
-4. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка SP, де S(-5; 1), P(-3; 5).
-3. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(2; 5), В(6; 3).
-2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(-1,5; 0,5) прямокутної системи хОу і перпендикулярна до прямої, що задана рівнянням -5х + 7у = -11.
-1. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(-5; -2), В(2; 3).
0. Знайти найкоротшу відстань від початку координат О(0; 0) прямокутної системи хОу до точок, які належать прямій, що задана рівнянням х + у = 8.
1. Знайти координати точки перетину графіка  у = - 0,75х – 12 з віссю абсцис.



Властивості загального рівняння прямої
Деякі випадки рівняння прямої:
1)              якщо  с = 0, то аx + by = 0 - це рівняння прямої, що проходить через початок координат.
2)             якщо  b = 0(a ≠ 0), то x = -c:a - це рівняння прямої, що паралельна осі ординат Оу і проходить через точку (-c:a; 0) .
3)             якщо b = 0, a ≠ 0, с = 0, то x = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю ординат Oy.
4)             якщо  а = 0, b ≠ 0, с = 0, то y = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю абсцис Ох.
5)             якщо  b 0 (a = 0), то x = -c:b - це рівняння прямої, що паралельна осі абсцис Ох і проходить через точку (0;-c:b) .
Відстань від точки М(хм; ум) до прямої
xсоsа + ysinа – p = 0
d = |хм соsа + ум sinа – p|
Відстань від точки М(хм; ум) до прямої
аx + by + c = 0
d = |aхм + bум + c|:(а2+ b2)0,5.
Кут  між двома прямими
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
обчислюється за формулами:
tgj =|(а2b1 + b2а1):(а1a2 + b1b2)|;
cosj =|а1a2 + b1b2|:[(а12 + b12)0,5(а22 + 22)0,5].

Умова паралельності двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 = b1 :b2 с1 2

Умова накладання двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 = b1 :b2 = с1 2

Умова перпендикулярності двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0
а2x + b2y + c2 = 0
а1a2 + b1b2 = 0.

Умова непаралельності або перетину двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2  b1 :b2 .

Точка М(хм; ум) перетину двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0,    а2x + b2y + c2 = 0
хм = (b2c1 - c2b1):(а1b2 b1а2);
ум = (а1c2 - a2c1):(а1b2 b1а2).

Завдання для самостійного дослідження.
1. В якій точці перетинаються прямі у + х =7 та 2х + 2у = 10?
     А)  ( 1; 6) ;  Б)  (3 ; 2) ;  В) прямі співпадають;  Г) прямі паралельні.
2. В якій точці поретинаються прямі 2х +2у = 5 і  4х + 2у = 7?
     А) (3; 4);    Б) прямі паралельні;   В) ( 1; 1,5);  Г) прямі співпадають.
3. В якій точці перетинаються прямі  1,5х – 4у = 6  і   6х – 16у = 24?
     А) ( 4; 0);  Б) прямі паралельні;   В) прямі співпадають; Г) ( 9; 3,75).
4. В якій точці перетинаються прямі  2х + 2у = - 2 і  -10х + 5у = - 0,5.
     А) прямі паралельні;   Б) (-0,7; -0,3);  В) ( -0,3 ; -0,7) ;  Г) прямі співпадають.
5. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b, якщо графік цієї функції проходить через точку А( - 3; k )  і число b більше за число k на 6.
     А) у = 2х + 8;   Б) у = 2х + 4;   В) у = х + 8;  Г) у = х + 4.
6. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b , якщо графік цієї функції проходить через точку С( -2; 2b) і число b більше числа k на 12.
      А) у = 4х – 8;   Б) у = - 4х + 8;  В) у = - 0, 25х – 4;  Г) у = 0,25х + 4.
7. Графіки функцій  у = ax + 3  i   y = ( 2 – a )x + a   перетинаються в точці з абсцисою  - 1. Знайдіть ординату точки перетину.
     А)  ;   Б) ;    В) ;   Г) .
8. Графіки функцій   у = ( 4 – а)х + а  і  у = ах – 2  перетинаються в точці з абсцисою   -2. Знайдіть ординату точки перетину.
      А) 4,8;   Б) 3,5;    В)  - 4,4;    Г)  -3,5.
9. Визначити координати точок перетину з осями координат графіка функції  у = 2,5х – 5 і обчислити площу утвореного трикутника.
     А) 10;  Б) 5;  В) 2;  Г) власна відповідь.
10. Визначити координати точок перетину  з осями координат графіка функції  у = 7 – 3,5х і обчислити площу утвореного трикутника.
     А) 3,5;  Б) 14;  В) 7;  Г)  власна відповідь.

Модуль 7
Рівняння висоти, медіани трикутника

Множина прямих задана формулою:
аx + by + c = 0
а) якщо а і b – фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються),  тоді маємо пучок паралельних прямих, який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b) – це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx + by + c = 0;
б) якщо а і с – фіксовані числа і а ≠ 0(не змінюються),
b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто, прямої у = 0;
в) Якщо b і с фіксовані числа і b ≠ 0(не змінюються),  а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (0; -с/ b), за виключенням осі Оy, тобто,  прямої х = 0.
г) якщо паралельні прямі задані рівняннями: аx + by + с1= 0,  аx + by + с2= 0, то формула відстані  h між паралельними прямими: h = |с1с2|:(а2 + b 2)0,5.
д) якщо трикутник в декартовій системі xOy
заданий рівняннями прямих
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0,
l3: A3x + B3y + C3 = 0,
тоді рівняння висоти, що опущена на l3:
(A1x + B1y + C1)(A2A3 + B2B3) = (A2x + B2y + C2)(A1A2 + B1B2)
рівняння медіани, що проходить через точку перетину l1 та l2:
(A1x + B1y + C1)(A2B3 A3B2) = (A2x + B2y + C2)(A3B1 + A1B3).
Ці прямі утворюють трикутник тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник V третього порядку, що утворений з трьох векторів: (A1; B1; C1), (A2; B2; C2), (A3; B3; C3), тобто вираз V = A1B2C3+ C1A2B3+ B1C2A3- A3B2C1 - A1B3C2- A2B1C3 ≠ 0
 Площа трикутника S, що задана трьома рівняннями прямих:
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x + B2y + C2 = 0,
l3: A3x + B3y + C3 = 0,
обчислюється за формулою:
S = 0,5(V)2:(А1B2- А2B1)(А2B3- А3B2)(А3B1- А1B3),

де  V = A1B2C3+ C1A2B3+ B1C2A3- A3B2C1 - A1B3C2- A2B1C3.