Комбінація конуса і піраміди. Приклади задач

Комбінація конуса і піраміди.

Приклади задач

№1. Навколо правильної трикутної піраміди описано конус. Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо сторона основи піраміди дорівнює , а бічні ребра нахилені до основи під кутом .

Розв’язання.

Зауваження.  Для розв’язання задачі малювати конус немає потреби: достатньо розглянути піраміду.

Нехай наколко піраміди  описано конус. За умовою , ,  –висота піраміди.

Оскільки всі ребра піраміди рівно нахилені до площини основи, то точка  є центром описаного кола навколо , тобто  – центр основи конуса, а відрізки     – твірні конуса, ,  де  – радіус основи конуса.

Відомо, що для рівностороннього трикутника виконується    (1)

Розглянемо прямокутний :

       (2)

Бічну поверхню конуса обчислимо за формулою

.

З рівностей (1) та (2), маємо .

Відповідь: .

№2. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого , а кут при основі . Бічні грані нахилено до основи під кутом . Знайти площу бічної поверхні вписаного в піраміду конуса.

Розв’язання.

Нехай в основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник , в якому  .

Опустимо з вершини  перпендикуляр  на площину основи піраміди та вписаного конуса.

Побудуємо кут нахилу бічної грані до основи. Проведемо , тоді за теоремою про три перпендикуляри , отже за означенням .

Оскільки всі бічні грані піраміди рівнонахилені до основи, то точка  є центром вписаного кола в , тобто центром основи конуса,  – радіус основи конуса,  – твірна конуса.

Розглянемо основу піраміди.

З прямокутного  знайдемо :

.

Оскільки  – бісектриса  (т.  – точка перетину бісектрис), то , то  

     (1)

З  маємо :     (2)

Площа бічної поверхні конуса з (1) та (2)

_,

   .

Відповідь:       .

Тренувальні вправи

№1. У правильній трикутній піраміді основи дорівнюють , а плоский кут при вершині . Визначити площу бічної поверхні конуса, вписаного в піраміду.

№2. У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині  дорівнює . Знайти повну поверхню вписаного конуса, якщо площа основи піраміди .

№3. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює . Визначити площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота .

№4. В конус вписано піраміду , основою якої є трапеція . Відомо, що , ,  ( і  – основи трапеції), висота  піраміди  . Знайти площу бічної поверхні конуса.