11 клас. Геометрія. Дистанційна освіта: Правильна піраміда.

Правильна піраміда.

Піраміду називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основи висоти збігаються із центром цього многокутника.

Нагадаємо, що центром правильного многокутника називають центр описаного навколо нього (або вписаного в нього) кола. На малюнку 466 зображено правильну трикутну піраміду, а на малюнку 467 - правильну чотирикутну піраміду, висоти яких - відрізки QК; точка К - центр правильного многокутника, що лежить в основі піраміди.

Віссю правильної піраміди називають пряму, яка містить її висоту.

Властивості правильної піраміди:

1) Усі бічні ребра правильної піраміди рівні.

2) Усі бічні грані правильної піраміди - рівні рівнобедрені трикутники.

3) Усі апофеми правильної піраміди рівні між собою.

Теорема про бічну поверхню правильної піраміди

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником.
Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.
; ,
де Р — периметр основи, а — сторона основи, l — довжина апофеми.

Правильна трикутна піраміда

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (див. рисунок).

Центром

є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Тому будуємо дві медіани основи. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра.
На рисунку:

— кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер);

— кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней).
Нехай

.
Тоді

;

.
Отже,

;

.
Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди.
Ця площина перпендикулярна до площини основи і площини грані BSC.
Цікаво також відмітити, що мимобіжні ребра піраміди (SA і BC, SB і AC, SC і AB) є перпендикулярними. Якщо

, то ON є відстанню від основи висоти не тільки до анафеми, а й до бічної грані BSC.

Правильна чотирикутна піраміда

В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.
Нехай сторона квадрата а (див. рисунок).
Тоді

;

Зверніть увагу:

, тобто

.
При паралельному проектуванні паралельність зберігається.

;

.
Відстань від основи висоти до бічної грані:

;

.

Правильна шестикутна піраміда

В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник (див. рисунок). Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.

Тоді

;
Нехай сторона правильного шестикутника а.

;

Приклад. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а висота - 2 см. Знайти довжину бічного ребра.

Розв’язання. 1) (мал. 466) Нехай QАВС - правильна піраміда, QК = 2 см - висота піраміди.

2) Оскільки точка К - центр описаного навколо трикутника АВС кола, то КВ = R - радіус цього кола. За відомою формулою R = a/3, де а = АВ = 6 см - сторона основи. Отже,

Правильний тетра́едр

Тетра́едр називається правильним, якщо всі його грані — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин

(1, 1, 1)
(-1, −1, 1)
(-1, 1, −1)
(1, −1, −1)

довжина ребра в цьому випадку складатиме

2\sqrt2

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:

Площа поверхні

\sqrt3a^2\,\!

Об'єм

\frac{\sqrt2}{12}a^3

Висота

\sqrt\frac{2}{3}a\,\!

Радіус вписаної сфери

\frac{\sqrt6}{12}a

Радіус описаної сфери

\frac{\sqrt6}{4}a

Кут нахилу ребра

\arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi

Кут нахилу грані

\arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi

Група симетрій — Тетраедральна (T_h)

Властивості правильного тетраедра

В правильний тетраедр можна вписати октаедр, притому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
Правильний тетраедр з ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (по вершинам) з ребром х/2.
Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.

Чотиригранник, тетраедр, трикутна піраміда — багатогранник із чотирма вершинами, і з чотирма трикутними гранями, в кожній з вершин якого сходяться по 3 грані.

У чотиригранника 4 грані, 4 вершини і 6 ребер. Паралельні площини, що проходять через парчотиригранника, що схрещуються, визначають описання чотиригранника паралелепіпед.

Відрізок, що сполучає чотиригранника з точкою перетину медіан протилежної грані, називається його медіаною, опущеною з даної вершини. Відрізок, що сполучає середини чотиригранника, що схрещуються, називається його бімедіаною, що сполучає дані ребра. Відрізок, що сполучає чотиригранника з точкою протилежної грані і перпендикулярний цій грані, називається його висотою, опущеною з даної вершини.

Властивість

Всі медіани і бімедіани чотиригранника перетинаються в одній точці. Ця точка ділить медіани у відношенні 3:1, міряючи від вершини, а бімедіани — навпіл.

Види тетраедрів

Виділяють:

рівногранний тетраедр, у якого всі грані - рівні між собою трикутники;
ортоцентричний тетраедр, у якого всі висоти, опущені з вершин на протилежні грані, перетинаються в одній точці;
прямокутний тетраедр, у якого всі ребра, прилеглі до однієї з вершин, перпендикулярні між собою;
правильний тетраедр, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники.