Тематичний залік з теми ПІРАМІДА

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника – основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи – вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Висота піраміди – перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром. Бічна грань піраміди – трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною – сторона основи піраміди.

На рисунку SO — висота піраміди. Тоді – кут між бічним ребром і площиною основи (SO – перпендикуляр, SА – похила, OА – проекція).

З основи висоти піраміди (точки О) проведемо перпендикуляр на сторону основи (наприклад, АЕ). Основу цього перпендикуляра (точку F) з’єднаємо з вершиною піраміди (точкою S). За теоремою про три перпендикуляри: . (SO – перпендикуляр, SP – похила, OF – проекція,за побудовою.) Отже, – лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані ASEі площиною ­основи.

Для розв’язування задач про піраміду дуже важливо з’ясовувати, де розміщена основа її висоти.

1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:

• усі бічні ребра піраміди рівні;

• усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;

• усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди;

• усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, – то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди.

Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник.

2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:

• всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;

• усі бічні грані мають однакові висоти;

• висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди;

• бічні грані рівновіддалені від основи ви­соти,  – то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди.

4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи, то ви­сотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої пло­щини»). 

5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.

Відстані від основи висоти піраміди

Відстань від основи висоти піраміди до бічного ребра – перпендикуляр, опущений із точки О на це ребро 

Тематичний залік

з теми

ПІРАМІДА

Рівень А

Теоретичні запитання

1.      Що таке двогранний кут (грань кута, ребро)? Що таке лінійний кут двогранного кута? (Пояснити на моделі)

2.      Що таке піраміда(Основа піраміди, бічні грані, ребра, висота)?

3.      Що таке діагональний переріз піраміди? Скільки діагональних перерізів можна провести у правильній чотирикутній піраміді? Як знайти їх площу?

4.      Поясніть,  що таке зрізана піраміда (основи зрізаної піраміди, бічні грані, висота)? Зробіть малюнок.

5.      Яка піраміда називається правильною? Що таке вісь правильної піраміди( апофема )? Зробіть малюнок.

6.      Зобразіть правильну трикутну піраміду, побудуйте лінійний кут двогранного кута при основі піраміди та вкажіть кут нахилу бічного ребра до основи.

7.      Зобразіть правильну чотирикутну піраміду, вкажіть кут нахилу бічного ребра до основи піраміди та кут нахилу бічної грані до основи цієї піраміди.

8.      Запишіть формули для бічної та повної поверхонь правильної піраміди. Наведіть приклад застосування формули для S_біч. на практиці.

9.      Який многогранник називається правильним? Перелічіть п*ять типів правильних многогранників, опишіть два з них.

Задачі на тетраедрі

1.    Знайти об’єм  правильного тетраедра SABC, ребра якого  являються діагоналями граней куба, якщо довжина ребра куба  4 см.

2.    Усі ребра правильного тетраедра   являються діагоналями граней куба. Знайти переріз  правильного тетраедра, що  містить висоту тетраедра і медіану основи тетраедра, якщо довжина ребра куба  9 см.

3.    Знайти кут між мимобіжними ребрами  правильного тетраедра.

4.    Знайти кут між мимобіжними діагоналями непаралельних граней куба.

5.    Знайти площу перерізу   правильного тетраедра АВСD, що проходить через середини ребер АВ, АС, CD, DB , якщо довжина ребра 2 см.

Задачі на  пірамідах

Варіант 1

1.      Площа бічної грані правильної чотирикутної піраміди дорівнює 48 см² , а периметр основи – 12 см. Обчисліть апофему піраміди.

2.      В основі піраміди лежить прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють 6 см і 8 см. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13 см. Обчислити висоту піраміди.

Варіант 2

1.      Бічною гранню правильної трикутної піраміди є правильний трикутник, площа якого дорівнює 64 см² . Обчислити периметр основи піраміди.

2.      В основі піраміди лежить прямокутник, одна із сторін якого дорівнює 8 см,а площа –

48 см² . Всі бічні ребра піраміди дорівнюють 13 см. Обчислити висоту цієї піраміди.

Варіант 3

      1. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди – правильний трикутник, периметр якого 36 см. Обчислити площу основи піраміди.

ПЛОЩА ПОВЕРХНІ ПІРАМІДИ

1. У правильній піраміді площа основи становить третину площі повної поверхні. Визначте двогранний кут при основі піраміди.

2. Бічна поверхня правильної трикутної піраміди становить 0,75 повної поверхні. Знайдіть плоский кут при вершині піраміди.

3. Через середину висоти правильної піраміди проходить площина, паралельна основі. Площі поверхонь утворених многогранників відносяться, як 3:11. Знайдіть двогранний кут при основі піраміди.

4. Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, у якої сторона 10см, а висота 12см.

5. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, у якої сторона основи 24см, а висота 11см.

6. Знайдіть площу бічної поверхні трикутної піраміди, знаючи, що сторона її основи 10см, 11см і 19см, а всі двогранні кути при основі дорівнюють по 45^o.

7. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної  піраміди, у якої сторона основ а,а двогранний кут при основі 30^o.

8. Основа піраміди – квадрат із стороною 12 см; висота піраміди 9  см. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи. Знайдіть площу поверхні піраміди.

9.  Основа піраміди – квадрат. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи. Площі діагональних перерізів 48см²   і 80 см² . Знайдіть площу поверхні піраміди.

10.  Основа піраміди – ромб з діагоналями 30см і 40см. Бічне ребро завдовжки 28 см перпендикулярне до площини основи. Знайдіть площу поверхні піраміди.

11. Основа піраміди -  паралелограм із сторонами 60см і 84см. Площа паралелограма 3360 см². Знаючи, що висота піраміди проходять через центр основи і дорівнює 21см, знайдіть площу бічної поверхні піраміди.

12. Основа піраміди – трапеція, у якої одна з бічних сторін 13см, а паралельні сторони дорівнюють 5см і 45см. Двогранні кути при основі рівні між собою, висота піраміди 8см. Знайдіть площу поверхні піраміди.

13. Двогранний кут між суміжними бічними гранями правильної чотирикутної піраміди 120^o, а її бічна поверхня  18(2)^0,5 см². Знайдіть площу основи піраміди.