Методи слідів при побудові перерізів
Слідом називають пряму перетину площини перерізу і площини якої-небудь грані многогранника. Щоб побудувати слід, достатньо знати дві його точки, тобто точки, які одночасно лежать в січній площині і площині
даної грані. Якщо слід побудований, то відрізок (PQ), по якому він перетинається з площиною , дає сторону перетину, яка лежить у цій площині. Але ще важливіше те, що кожна точка його перетину зі стороною грані або її продовженням лежить і в площині іншої грані; наприклад, точка P (на мал. 1) лежить в бічній грані ABS піраміди, точка U - в площині граніBCS і т.д.
Мал. 1
Оскільки ці точки, як і весь слід, лежать також і в площині перетину, ми отримуємо принаймні одну точку перетину в кожній з граней, суміжних з. Використовуючи інші відомі з умови або попередньої побудови точки перетину, які лежать в цих гранях, будуємо слід у новій грані і т. д. Цих міркувань досить для побудови перетину піраміди або призми по двох точках в площині основи і одній на бічній поверхні. У випадку призм можна додатково використовувати і те, що сторони перерізу, які належать основам, паралельні.
Але не завжди дані завдання дозволяють відразу провести слід в площині основи піраміди або призми. В цьому випадку побудова сліду, точніше, будь-яких двох його точок, стає першим кроком рішення. Основний елементом цієї побудови - знаходження точки, в якій пряма перетинає площину. Розглянемо приклад (мал.2), в якому потрібно побудувати лінію перетину площини, що проходить через точки K, L, M, задані на бічній поверхні призми, з її основою. Спочатку будуємо проекції K', L', M' даних точок на площину основи (в даному випадку взяті паралельні проекції вздовж бічних ребер призми). Будь-які дві з точок K, L, M лежать в одній площині з своїми проекціями. Значить, пряма, що сполучає ці точки, перетинається в просторі, з прямою, яка з’єднує їх проекції,(або названі прямі паралельні). На малюнку 2 побудовані точки P і Q перетину прямих KL і K'L', LM і L'M'. Очевидно, що ці точки і є точками перетину прямих KL і LM з площиною основи призми, а пряма PQ - слід площини перетину KLM на площині основи.
Легко зрозуміти, що якщо одна з прямих KL і LMвиявиться паралельною своїй проекції, то і слід буде паралельний цій прямій.
Практично так само вирішуються аналогічні завдання для пірамід, тільки замість паралельної проекції треба розглянути центральну (з центром у вершині піраміди). Порівняєте побудови на малюнках 2 і 3. Алгоритм побудови перетинівпризм і пірамід трьома точками (методом слідів):
У останньому випадку всі задані точки можуть потрапити на основи (мал.4); тоді слід на одній з основ (пряма ^ на малюнку) будується безпосередньо, а на іншому проводиться паралельно першому. В результаті отримуємо точки (U і V) на бічних гранях і далі діємо, як вище.
Мал. 4
Відмітимо, що якщо завдання поставлене «правильно», то ми завжди зуміємо виконати перший крок описаного алгоритму - знайти потрібні проекції даних точок K, L, M на деяку (основну) площину. Зокрема, ці точки можна задавати на певних гранях або ребрах многогранника або, наприклад, на прямій, що сполучає дві задані точки на гранях. При виконанні другого кроку алгоритму дві з трьох прямих KL, LM, MK перетнуть свої проекції і тим самим визначать слід у всіх випадках, окрім одного, коли площина перетину паралельна основі призми або піраміди. Але в цьому випадку можна просто скористатися тим, що, по теоремі про перетин двох паралельних площин третьою, сторони перетину будуть паралельні відповідним сторонам основи. Задача 1. Побудуйте переріз трикутної призми площиною, що проходить через точки М, К, і N.
Побудова перерізу піраміди зводиться до побудови прямих, які є прямими перетину даної січної площини з площинами січних граней піраміди.Діагональний переріз піраміди – це переріз піраміди площиною, яка проходить через два несусідніх ребра піраміди.
Задача 2. Дано піраміду SABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною МNК, де точка М
AS, точка К SB і N SD.
2. побудова перерізів многогранників
1.
Метод слідів
Слідом називають пряму перетину площини перерізу і площини якої-небудь грані многогранника. Щоб побудувати слід, достатньо знати дві його точки, тобто точки, які одночасно лежать в січній площині і площині
даної грані. Якщо слід побудований, то відрізок (PQ), по якому він перетинається з площиною , дає сторону перетину, яка лежить у цій площині. Але ще важливіше те, що кожна точка його перетину зі стороною грані або її продовженням лежить і в площині іншої грані; наприклад, точка P (на мал. 1) лежить в бічній грані ABS піраміди, точка U - в площині граніBCS і т.д.Мал. 1
Оскільки ці точки, як і весь слід, лежать також і в площині перетину, ми отримуємо принаймні одну точку перетину в кожній з граней, суміжних з
. Використовуючи інші відомі з умови або попередньої побудови точки перетину, які лежать в цих гранях, будуємо слід у новій грані і т. д. Цих міркувань досить для побудови перетину піраміди або призми по двох точках в площині основи і одній на бічній поверхні. У випадку призм можна додатково використовувати і те, що сторони перерізу, які належать основам, паралельні.Але не завжди дані завдання дозволяють відразу провести слід в площині основи піраміди або призми. В цьому випадку побудова сліду, точніше, будь-яких двох його точок, стає першим кроком рішення. Основний елементом цієї побудови - знаходження точки, в якій пряма перетинає площину. Розглянемо приклад (мал.2), в якому потрібно побудувати лінію перетину площини, що проходить через точки K, L, M, задані на бічній поверхні призми, з її основою. Спочатку будуємо проекції K', L', M' даних точок на площину основи (в даному випадку взяті паралельні проекції вздовж бічних ребер призми). Будь-які дві з точок K, L, M лежать в одній площині з своїми проекціями. Значить, пряма, що сполучає ці точки, перетинається в просторі, з прямою, яка з’єднує їх проекції,(або названі прямі паралельні). На малюнку 2 побудовані точки P і Q перетину прямих KL і K'L', LM і L'M'. Очевидно, що ці точки і є точками перетину прямих KL і LM з площиною основи призми, а пряма PQ - слід площини перетину KLM на площині основи.
 |  |
Мал. 2 | Мал. 3 |
Легко зрозуміти, що якщо одна з прямих KL і LMвиявиться паралельною своїй проекції, то і слід буде паралельний цій прямій.
Практично так само вирішуються аналогічні завдання для пірамід, тільки замість паралельної проекції треба розглянути центральну (з центром у вершині піраміди). Порівняєте побудови на малюнках 2 і 3. Алгоритм побудови перетинівпризм і пірамід трьома точками (методом слідів):
Крок 1. Будуємо проекції K', L', M' даних точок K,L, M на площину основи (паралельно бічним ребрам у разі призм та з вершини піраміди як з центру проекції у разі пірамід); цю площину називають основною. Якщо якісь з даних точок належать основній площині, їх проекції, звичайно, будувати не треба.
Крок 2. Перетинаючи прямі (KL, LM, MK), що сполучають дані точки, з їх проекціями, знаходимо точки перетину цих прямих з основною площиною. Пряма, що проходить через них є слідом перетину на основі. Щоб її провести, досить знайти хоч би дві її точки.
Крок 3. Знаходимо точки перетину сліду із сторонами основи або їх продовженнями. Використовуючи ці точки і ті з даних точок, які лежать на бічній поверхні многогранника, послідовно знаходимо вершини перетину на бічних ребрах (як показано в прикладі), а у випадку призми і на сторонах другої основи.
У останньому випадку всі задані точки можуть потрапити на основи (мал.4); тоді слід на одній з основ (пряма ^ на малюнку) будується безпосередньо, а на іншому проводиться паралельно першому. В результаті отримуємо точки (U і V) на бічних гранях і далі діємо, як вище.
Мал. 4
Відмітимо, що якщо завдання поставлене «правильно», то ми завжди зуміємо виконати перший крок описаного алгоритму - знайти потрібні проекції даних точок K, L, M на деяку (основну) площину. Зокрема, ці точки можна задавати на певних гранях або ребрах многогранника або, наприклад, на прямій, що сполучає дві задані точки на гранях. При виконанні другого кроку алгоритму дві з трьох прямих KL, LM, MK перетнуть свої проекції і тим самим визначать слід у всіх випадках, окрім одного, коли площина перетину паралельна основі призми або піраміди. Але в цьому випадку можна просто скористатися тим, що, по теоремі про перетин двох паралельних площин третьою, сторони перетину будуть паралельні відповідним сторонам основи. Задача 1. Побудуйте переріз трикутної призми площиною, що проходить через точки М, К, і N.
Знайдемо точку Х перетину прямої NK і прямої АВ.
ХМ – слід (МNК) на (АВВ1). Знайдемо точку L перетину прямої ХМ і ребра ВВ1.
Знайдемо точку Y перетину прямої МХ і прямої АА
.
YN – слід (МNК) на ( АСС). Знайдемо точку F перетину прямої YN і ребра АС.
NКLMF – шуканий переріз.
Побудова перерізу піраміди зводиться до побудови прямих, які є прямими перетину даної січної площини з площинами січних граней піраміди.Діагональний переріз піраміди – це переріз піраміди площиною, яка проходить через два несусідніх ребра піраміди.
Задача 2. Дано піраміду SABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною МNК, де точка М
AS, точка К SB і N SD.
МК – слід (МNК) на (SAB). Знайдемо точку Х перетину прямої МK і прямої АВ.
МN – слід (МNК) на (SAD). Знайдемо точку Y перетину прямої МN і прямої АD.
YХ – слід (МNК) на ( АВС). Точки Р і L – точки перетину XY з ребрами DC i CB.
LKMNP – шуканий переріз.
2. побудова перерізів многогранників
1.
Немає коментарів:
Дописати коментар