11 клас. Геометрія. Дистанційна освіта: Означення піраміди. Елементи піраміди.

Означення піраміди. Елементи піраміди.

Пірамідою називають многогранник, у якого одна з граней (яку називають основою) - довільний многокутник, інші грані - трикутники зі спільною вершиною.

На малюнку 463 зображено піраміду, основою якої є многокутник АВСDЕ. Грані зі спільною вершиною, про які йде мова в означені піраміди, - трикутники АВQ, ВСQ, СDQ, DЕQ, АЕQ. Ці грані називають бічними гранями піраміди. їх спільну вершину - точку Q називають вершиною піраміди. Піраміду, зображену на малюнку 463 називають пірамідою QАВСDЕ. Ребра піраміди, які з’єднують вершину піраміди з вершинами основи піраміди, називають бічними ребрами піраміди. На малюнку 463 відрізки QА, QВ, QС, QD і QЕ - бічні ребра піраміди.

Піраміду називають n-кутною, якщо її основою є n-кутник.

Трикутну піраміду називають також тетраедр.
На малюнку 463 зображено п’ятикутну піраміду.

Перпендикуляр, проведений із вершини піраміди до площини основи, називають висотою піраміди.

На малюнку 463 відрізок Q)К є висотою піраміди, точка К - основою висоти.

При розв’язуванні задач важливою є наступна властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути або довжини всіх бічних ребер рівні, то основою висоти піраміди є центр кола описаного навколо основи піраміди.

Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.

Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.

Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.

Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.

Надалі розглядатимемо лише піраміди з опуклим багатокутником в основі. Такі піраміди називаються опуклими багатогранниками.

Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.

Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.

Формули

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:
$S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha$ ,
де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, $\alpha$ — кут при вершині піраміди
Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:
$V = \frac{1}{3} S h$

Властивості

Такі три твердження є еквівалентними:

Бокові ребра піраміди рівні;
Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;
Проекція вершини піраміди на площину її основи співпадає із центром кола, описаного навколо основи.

Такі три твердження також є еквівалентними:

Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;
Двогранні кути при основі піраміди рівні;
Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.

Зрізана піраміда утворена пірамідою та площиною, яка паралельна до основи піраміди та перетинає її, відтинаючи подібну піраміду.

Приклад 1. Кожне з бічних ребер тетраедра дорівнює 65/8 см. Основою піраміди є трикутник зі сторонами 5 см, 5 см і 6 см. Знайти висоту піраміди.

Розв’язання (мал. 464). 1) Нехай QАВС - тетраедр, що задано в умові,

ВС = 6 см; QК - висота тетраедра.

2) Оскільки всі бічні ребра тетраедра рівні, то точка К - центр кола, описаного навколо#8710;АВС; АК = R - радіус кола, описаного навколо цього трикутника.

3) За відомою формулою

де а, b, с - сторони трикутника; S - його площа.

4) Знайдемо площу трикутника за формулою Герона

Також при розв’язуванні задач важливою є властивість:

Якщо у піраміді виконується одна з двох наступних умов: всі бічні грані утворюють з площиною основи рівні кути або довжини висот всіх бічних граней рівні, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди.

Приклад 2. Основою піраміди є ромб з діагоналями 40 см і 30 см. Висота піраміди дорівнює 5 см. Всі висоти бічних граней рівні між собою. Знайти довжину висоти бічної грані.

Розв’язання. 1) Оскільки всі висоти бічних граней рівні між собою, то основою висоти піраміди є центр кола, вписаного в основу. Оскільки основою є ромб, то точка К - основа висоти є точкою перетину діагоналей ромба. На малюнку 465 зображено піраміду QАВСD, що задано в умові.

2) АВСD - основа піраміди, АС = 30 см, ВD = 40 см, QК - висота піраміди, QК = 5 см.