Властивості багатогранників

Звертаємо увагу на декілька цікавих властивості багатогранників.

А чи може змінюватися  двогранний кут у куба,  залишаючи форму граней незмінними, при ребрі, яке з'єднує будь-які дві грані? Здавалося, що цей кут повинен мати можливість змінюватися, як ніби ребро («грань», що має розмірність один) реалізовано за допомогою рояльної петлі.  Якщо зробити  моделі куба «на рояльних петлях» як ребер, то можна переконатися, що згинатися вони не будуть. Виявляється, це загальний факт для опуклих многогранників.

Французький математик Огюстен Коші(1789-1857)  довів (1813), що два опуклі багатогранники з відповідно рівними й однаково розташованими гранями мають рівні двогранні кути між відповідними гранями. Тобто, усі випуклі многогранники – це жорсткі фігури. Це означає – не можна утворити із шести рівних квадратів, многогранник, у якого двогранні кути не являються прямими. Просторовий куб не можна деформувати, тобто змінити його кути, не змінюючи грані. Наприклад, квадрат – це нежорстка фігура, залишаючи незмінними сторони, його можна деформувати, змінюючи кути, і утворити ромб, сторони якого дорівнюють сторонам даного квадрата. Тобто, опуклих многогранників згинальних не буває, але існують згинальні неопуклі многогранники.

У 1939 році доведена російським  математиком О. Д. Александровим  теорема про існування і єдиність опуклого багатогранника з заданою розгорткою.  Правильні многогранники можна однозначно задавати своїми розгортками. Наприклад, куб можна скласти із 11 різних розгорток(це шестиклітинкова фігурка) з точністю до перевертання на іншу сторону та руху розгортки.

А тепер запитання. Як за даними довжинами  шести ребер відновити многогранник? Спробуємо виконувати послідовні дії, скріпляти спочатку два ребра в одній вершині, потім скріпляти три ребра в одній вершині і так далі. І тут виникає проблема, не маючи повної інформації про  міри лінійних і двогранних кутів цього многогранника, стикаємося спочатку з проблемою нежорсткості лінійного кута за двома сторонами, потім з проблемою нежорсткості тригранного кута. Виявляється, довжини трьох ребер можуть визначати безліч тригранних кутів з різними лінійними та двогранними кутами. А  якщо грані многогранника, не трикутники, а чотирикутники?  Відомо, що за відомими довжинами чотирьох сторін можна скласти безліч чотирикутників.   Здається, що степені свободи при послідовному складанні многогранника за усіма відомими довжинами ребер зводять задачу нанівець, якщо нам невідомі лінійні, двогранні кути, отже без додаткової інформації про вид граней задача може мати розв’язок, але тільки після перебору дуже великої множини многогранників. І тільки укріплення останнього ребра  з усіма іншими ребрами має визначити той многогранник, який стане жорстким.  Серед них можуть бути, як опуклі так і неопуклі многогранники. Тепер стає зрозумілим, важливість теореми про існування і єдиність опуклого багатогранника з заданою розгорткою. Якщо потрібно скласти многогранник із деяких елементів, то йому замало знати тільки довжини усіх  ребер, йому потрібна ще й розгортка даного многогранника.

ІСТОРІЯ ТА ФІЛОСОФІЯ  КУБА В ІНШИХ НАУКАХ.

Правильні багатогранники або ПЛАТОНОВІ ТІЛА названі по імені  давньогрецького філософа Платона, який в творі «Тімей» (нібито IV століття до н. е.) давав їм містичний зміст, хоча  вони були відомі і до Платона.

Німецький астроном Кеплер (1571 -1630) намагався побудувати модель Сонячної системи вписуючи і описуючи правильні багатогранники в сфери. Це вдалося йому не повністю, але послужило поштовхом до розробки законів Кеплера.

У різних дисциплінах використовуються значення терміну, що мають відношення до тих або інших властивостей геометричного прототипу. Зокрема, в алгебрі кубом називають третій ступінь числа. В аналітиці (OLAP-аналіз) застосовуються так звані аналітичні багатовимірні куби, що дозволяють в наочному вигляді зіставити дані з різних таблиць.

В той час, як сфера, поверхня кулі, я якості початкового стану відповідає за циклічний стан і рух, куб є фінальною стадією цього циклу, і символічно вписується в коло. Куб є істиною, яка весь час однакова, як на неї не подивитись.  Завершеність, стабільність, статична досконалість, бездоганний закон міри. В релігії розгортка куба – це хрест. В традиційній архітектурі куб є символом стабільності, і використовується в якості фундаментального каменя-основи нижньої частини храмових будівль разом з округлістю верхніх бань як найвищою якості Всесвіту.

В алхімії куб являє собою сіль – продукт кристалізації сірки і ртуті.

У китайців куб – це бог Землі, тоді як сфера – є небесним символом.

У євреїв куб – це Святая Святих.

В ісламі Кааба – освячений камінь, до якого здійснюють хадж мусульмани, цей камінь вважається втіленням найдосконалішого буття. У майя куб – це Земля, за їх філософією саме із куба росте дерево життя.

Банк задач з теми «Паралелепіпеди. Куб». 

1.Наведіть приклади тіл, які мають форму паралелепіпеда, з навколишнього середовища.

2.Чи вірно, що довільні три сусідні вершини куба задають площину грані куба?

3.Чи вірно, що два довільні бічних ребра куба задають грань куба?

4.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба і паралельне до нього  ребро верхньої основи куба задають грань куба?

5.Чи вірно, що грань нижньої основи куба являється перпендикулярною до бічних граней куба?

6.Чи вірно, що дві бічні ребра куба утворюють перпендикулярні грані куба?

7.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?

8.Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?

9.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?

10.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?

11.Чи вірно, що деякі бічні ребра куба являються перпендикулярними?

12. Три грані паралелепіпеда - прямокутники. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед прямокутний?

13.Три грані паралелепіпеда - квадрати. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед куб?

14. Три грані многогранника - трикутника. Чи випливає з цього, що це призма?

15. Чи можна, знаючи положення п’яти будь-яких вершин куба, однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі?

16. Чи можна, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

17. Чи можна, знаючи чотири вершини куба, що являються кінцями трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

18. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до ребер куба?

19. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до діагоналей граней куба?

20. Скільки відрізків, кінці яких лежать на поверхні  куба належать до діагоналей куба?

21. Скільки різних площин, що утворюються на множині восьми вершин куба (кожна з цих площин містить хоч а б три вершини  куба)?

22. Скільки діагональних перерізів має куб?

23. Скільки січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі тільки три вершини куба?

24. Чи можна отримати в перерізи куба площиною: а)правильний трикутник; а)правильний чотирикутник; а)правильний п’ятикутник; а)правильний шестикутник?

25. Скільки різних (рівних) правильних тетраедрів можна побудувати на восьми вершинах куба?

26. Скільки різних (рівних) чотирикутних пірамід можна побудувати на восьми вершинах куба?

27. Яке відношення між числом граней, числом вершин, та числом ребер має місце для многогранника?

28. Чи можна провести площину, яка перетинає тригранний кут куба, так, щоб у перерізі утворився тупокутний трикутник?

29. Чи завжди  можна провести площину, яка перетинає чотиригранний кут, так, щоб у перерізі утворився паралелограм? 

30. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

31. Чи існує многогранник з п’ятьма ребрами?

32. Чи існує многогранник з шістьма ребрами?

33. Чи існує многогранник з сімома ребрами?

34. Чи може призма мати вісім ребер?

35. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, що проходить через центр куба перпендикулярно його діагоналі?

36. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, яка визначається кінцями трійки ребер куба, що виходять із однієї вершини?

37. Чи існує многогранник  з непарним числом граней, кожна з яких містить непарне число сторін?

37. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню правильного тетраедра по квадрату?

38. Який многокутник утворюється при перетині поверхні правильного тетраедра площиною, паралельною двом його протилежним ребрах? Чи вірно, що периметр цього перерізу не залежить від вибору такої січної площини.

39. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню куба по правильному шестикутнику?

40. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

41.Покажіть, що існує тетраедр (тобто трикутна піраміда), висоти якого не перетинаються в одній точці.

42. Покажіть,, що кожна трикутна піраміда володіє плоским перерізом у формі ромба.

ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛЕПІПЕДИ»

1.Виміри прямокутного паралелепіпеда, виміри 9 см, 12 см і 20 см. Знайдіть:

1) площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда;

2) суму усіх ребер паралелепіпеда;

3) об’єм паралелепіпеда;

4) площу діагональних перерізів паралелепіпеда;

5) кількість різних трикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми, та ня

6) кількість різних чотирикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми та поверхні;

7) кількість способів, якими можна дістатися найкоротшим шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам паралелепіпеда від однієї вершини до протилежної вершини; 

8) кількість центрів симетрій паралелепіпеда;

9) кількість осей симетрій паралелепіпеда;

10) кількість площин симетрій паралелепіпеда;

11) площу поверхні сфери, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

12) об’єм кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

13) кількість відрізків, з кінцями у вершинах паралелепіпеда.

14)

2.Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 12 см і 4 см.

Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

3.В основі прямого паралелепіпеда з висотою 5 см лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 4 см і 12 см.

Дано паралелепіпед, кожна грань якого - ромб зі сторо­ною а і кутом а. Знайдіть площу його поверхні.

АВСВА₁В_хС₁й₁ - прямий паралелепіпед, а К, Ь, М -середини ребер АВ, А₁В₁, В_гС_х відповідно. Побудуйте пе­реріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки К, Ь, М. Знайдіть площу перерізу, якщо АА_г = 3 см, а КМ = 5 см.

АВСІ)А₁В₁С₁І)₁ - похилий паралелепіпед, М - середина його ребра Д₁В₁. Побудуйте переріз паралелепіпеда пло­щиною, яка проходить через точки В, £>, М.

Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСВА₁В₁С₁В₁ площи­ною, яка проходить через середини ребер АВ, СИ, ВВ_Г Визначте вид перерізу, якщо паралелепіпед:

а) прямокутний;       б) прямий;       в) похилий.

Виміри прямокутного паралелепіпеда 3, 4 і 5. Під яким кутом нахилена діагональ паралелепіпеда до площини найменшої його грані?

Як зв'язані між собою виміри а, 6, с прямокутного пара­лелепіпеда, якщо його діагональний переріз - квадрат?

Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней 42 см², 72 см² і 84 см².

Знайдіть площі діагональних перерізів прямого паралеле­піпеда, якщо сторони його основи дорівнюють 2,3 м і 1,1 м, кут між ними 60°, а бічне ребро їм.