середа, 9 липня 2014 р.

Правильний тетраедр


Правильний тетраедр

Тетра́едр називається правильним, якщо всі його грані — рівносторонні трикутники. У правильного тетраедра всі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

Правильний тетраедр має три вісі симетрії.

Правильний тетраедр має шість площин симетрій.

Декартові координати

Правильний тетраедр можна задати координатами його вершин
  • (1, 1, 1)
  • (-1, −1, 1)
  • (-1, 1, −1)
  • (1, −1, −1)
довжина ребра в цьому випадку складатиме 2\sqrt2
.

Формули

У правильного тетраедра з довжиною ребра a:
Площа поверхні \sqrt3a^2\,\!
Висота \sqrt\frac{2}{3}a\,\!
Радіус вписаної сфери \frac{\sqrt6}{12}a
Радіус описаної сфери \frac{\sqrt6}{4}a
Кут нахилу ребра \arctan\sqrt2\approx\frac{7}{23}\pi
Кут нахилу грані \arctan2\sqrt2\approx\frac{29}{74}\pi
Група симетрій — Тетраедральна (Th)

TetrahedronSquare1TetrahedronSquare2

Властивості правильного тетраедра

  • В правильний тетраедр можна вписати октаедр, притому чотири (з восьми) грані октаедра будуть суміщено з чотирма гранями тетраедра, всі шість вершин октаедра будуть суміщено з центрами шести ребер тетраедра.
  • Правильний тетраедр з ребром х складається з одного вписаного октаедра (у центрі) з ребром х/2 і чотирьох тетраедрів (по вершинам) з ребром х/2.
  • Правильний тетраедр можна вписати в куб двома способами, притому чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі куба. Всі шість ребер тетраедра лежатимуть на всіх шести гранях куба і дорівнюватимуть діагоналі грані-квадрата.
  • Правильний тетраедр можна вписати в ікосаедр, притому, чотири вершини тетраедра будуть суміщено з чотирма вершинамі ікосаедра.




Теорема про бічну поверхню правильної піраміди

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром многокутника. Віссю правильної піраміди називається пряма, яка містить її висоту. Бічні ребра правильної піраміди рівні, бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані, проведена з вершини піраміди, називається апофемою. Вона є бісектрисою та медіаною бічної грані, оскільки та є рівнобедреним трикутником.
Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.
,

де Р — периметр основи, а — сторона основи, — довжина апофеми.

Правильна трикутна піраміда

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник, який зображується довільним трикутником (див. рисунок).

Центром  є точка перетину його бісектрис, котрі водночас є висотами і медіанами. Медіани при паралельному проектуванні зображуються медіанами. Тому будуємо дві медіани основи. Точка їх перетину — основа висоти піраміди. Зображуємо висоту, а потім з’єднуємо вершину піраміди з вершинами основи. Отримаємо бічні ребра.
На рисунку:  — кут нахилу бічного ребра до площини основи (однаковий для всіх ребер);  — кут нахилу бічної грані до площини основи (однаковий для всіх граней).
Нехай .
Тоді ;
.
Отже, .
.
Площина осьового перерізу ASD є площиною симетрії правильної трикутної піраміди.
Ця площина перпендикулярна до площини основи і площини грані BSC.
Цікаво також відмітити, що мимобіжні ребра піраміди (SA і BCSB і ACSC і AB) є перпендикулярними. Якщо , то ON є відстанню від основи висоти не тільки до анафеми, а й до бічної грані BSC.
.


Правильна чотирикутна піраміда


В основі правильної чотирикутної піраміди лежить квадрат, який зображується довільним паралелограмом. Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.
Нехай сторона квадрата а (див. рисунок).
Тоді ;
;
;
;
.

Зверніть увагу: , тобто .
При паралельному проектуванні паралельність зберігається.
.
Відстань від основи висоти до бічної грані:
.

Правильна шестикутна піраміда


В основі правильної шестикутної піраміди лежить правильний шестикутник (див. рисунок). Його центром є точка перетину діагоналей. Ця точка — основа висоти піраміди.
Тоді ;
Нехай сторона правильного шестикутника а.
;
;

.
.




Немає коментарів:

Дописати коментар