Многогранник, вписаний в кулю.

Многогранник, вписаний в кулю.

Многогранник називають вписаним у кулю, якщо всі його вершини лежать на поверхні кулі.

При цьому кулю називають описаною навколо многогранника.

Основні властивості призми, вписаної в кулю, такі (мал. 511):

1) Кулю можна описати навколо прямої призми, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло.

2) Центр кулі є серединою висоти призми, що сполучає центри кіл, описаних навколо многокутників основ призми.

3) Основи призми вписані в рівні паралельні перерізи кулі.

Приклад 1. Навколо правильної трикутної призми, сторона основи якої дорівнює 5 см, описано кулю. Радіус кулі дорівнює 13 см. Знайти висоту призми.

Розв’язання. 1) Нехай навколо правильної трикутної призми АВСА_ІВ₁С₁ описано кулю (мал. 511).

2) QB = R_ABC - радіус кола, описаного навколо ∆АВС.  де а = 5 см - сторона основи правильного трикутника АВС.

Тоді 

3) У ∆OQB: ОВ = R = 13 см - радіус кулі, OQB = 90°.

Маємо 

4) Оскільки точка О - середина висоти призми QQ₁ то QQ₁ = 2 ∙ 12 = 24 (см).

Основні властивості піраміди, що вписана у кулю, наступні (мал. 512).

1) Кулю можна описати навколо піраміди, якщо її основою є многокутник, навколо якого можна описати коло. Центр кулі, описаної навколо піраміди, лежить на перпендикулярі до площини основи, проведеному через центр кола, описаного навколо основи.

2) Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, лежить на прямій, що містить висоту піраміди.

3) Центр кулі, описаної навколо правильної піраміди, збігається з центром кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, бічною стороною якого є бічне ребро піраміди, а висотою - висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Зазначимо, що центр описаної кулі може належати висоті піраміди, або лежати на її продовженні (тобто знаходиться або всередині піраміди, або за її межами). Розв’язуючи задачі способом, запропонованим нижче, немає потреби розглядати два випадки. При обраному способі розв’язування місце розташування центра кулі (усередині чи поза пірамідою) не враховується.

Приклад 2. Доведіть, що радіус кулі R, описаної навколо правильної піраміди, можна знайти за формулою  де Н - висота піраміди, r - радіус кола, описаного навколо основи піраміди.

Розв’язання. 1) Нехай точка О - центр кулі, описаної навколо правильно: піраміди з висотоюQК (мал. 512). За умовою QК = Я, КА = r - радіус кола описаного навколо основи.

2) Продовжимо QК до другого перетину з кулею в точці Q₁. Тоді QQ₁ = 2R - діаметр кола, а тому QАQ₁ = 90° і QQ₁ - гіпотенуза прямокутного трикутника QАQ₁.

4) За властивістю катета прямокутного трикутника у ∆QАQ₁ матимемо АQ² = QQ₁ ∙ QК, тобто АQ² = 2R ∙ Н.

5) Отже, АQ² = Н² + г² і АQ² = 2RН. Звідси Н² + r² = 2RН; R = (r² + H²)/2H, що й треба було довести.