Піраміда, описана навколо конуса.

Піраміда, описана навколо конуса.

Дотичною площиною до конуса називають площину, що проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, який містить цю твірну (мал. 509).

Піраміду називають описаною навколо конуса, якщо її основа описана навколо основи конуса, а вершиною є вершина конуса (мал. 510).

При цьому конус називають вписаним у піраміду. Зауважимо, що бічні грані піраміди належать площинам, дотичним до конуса.

Виходячи з означення, маємо властивості піраміди, описаної навколо конуса.

1) Конус можна вписати в піраміду, якщо її основою є многокутник, в який можна вписати коло, а висота піраміди проходить через центр цього кола.

2) Радіус основи конуса дорівнює радіусу кола r, вписаного в основу піраміди, а висота конуса Н дорівнює висоті піраміди.

Приклад. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60º. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

Розв’язання. 1) Нехай у трикутну піраміду з основою АВС і вершиною Q вписано конус (мал.510). Основа висоти конуса точка О - центр кола, вписаного в ∆АВС.

2) Нехай точка К - точка дотику кола, вписаного в ∆АВС, до сторони АВ. Позначимо ОК = R - радіус кола, вписаного в ∆АВС, і також радіус основи конуса.

3) ОК  АВ, за теоремою про три перпендикуляри QК  АВ, тому QКО - лінійний кут двогранного кута при ребрі основи піраміди. За умовою QКО = 60°.

4) За відомою формулою радіус кола, вписаного у прямокутний трикутник, знаходиться за формулою  де а, b - катети, с - гіпотенуза.

5) За умовою АС = 6 см, ВС = 8 см - катети.

Тоді гіпотенуза 

6) Маємо 

7) QO - висота піраміди і конуса. В  тоді