Перерізи піраміди.

Перерізи піраміди.

Розглянемо найпростіший переріз піраміди.

Переріз піраміди, що проходить через два бічних ребра, що не належать одній грані, називають діагональним перерізом.

На малюнку 468: QВD - діагональний переріз чотирикутної піраміди QАВСD.

Діагональні перерізи піраміди - трикутники, однією з вершин яких є вершина піраміди, а протилежна їй сторона - діагональ основи.

Приклад 1. Знайти периметр діагонального перерізу правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 3 см, а бічне ребро - 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай QАВСD - правильна чотирикутна піраміда (мал. 467), QАС - її діагональний переріз.

2) За умовою 

4) Тоді периметр перерізу Р = 6 + 5 + 5 = 16 (см).

Часто у задачах розглядають перерізи піраміди, що проходять через сторону основи піраміди і перетинають бічні ребра піраміди.

Приклад 2. У правильній трикутній піраміді, сторона основи якої дорівнює 8 см, через сторону основи перпендикулярно До бічного ребра проведено переріз. Знайти площу перерізу, якщо він утворює кут 30° із площиною основи піраміди.

Розв’язання. 1) Проведемо у правильній піраміді QABC з основою ABC висоту ВМ бічної граніBQC (мал. 469).

2) ∆ВМС = ∆АМС (за двома сторонами і кутом між ними), тому АМС = BMC = 90°.

3) За ознакою перпендикулярності прямої і площини: АМВ  QC. Тому АВМ - переріз, площу якого треба знайти.

4) CN - висота основи піраміди, CN  АВ, тому за теоремою про три перпендикулярами MN АВ.

5) За ознакою перпендикулярності прямої і площини маємо MNC  АВ, тому кут MNC - кут, що утворює переріз із площиною основи. За умовою MNC = 30°.

Спосіб слідів





малюнок 100. А




малюнок 100.Б




малюнок 100.В

малюнок 101




малюнок 102

малюнок 103





Задачі

1. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що переріз куба площиною А1С1К, де К — середина DC, є трапеція, а перерізи куба площинами А1В1К і АА1К є паралелограмами.

2.    ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед. Доведіть, що переріз прямокутного паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки В1, D1 і К, де точка К — середина ребра CD, є трапеція (рис. 81). 
3.    ABCDA1B1C1D1 — прямокутний паралелепіпед (рис. 82). Доведіть, що переріз його площиною, яка проходить через точки В, К, L, де точка К — середина ребра AA1, а точка L — середина ребра СС1, є паралелограм.