пʼятницю, 11 липня 2014 р.

Об’єм кулі. Тіла обертання

 Об’єм кулі.

Об’єм кулі V, радіус якої дорівнює r, обчислюється за формулою:
Приклад. Необхідно переплавити в одну кулю дві чавунні кулі радіусами 5 см і 6 см. Знайти (з точністю до десятих сантиметра) радіус нової кулі.
Розв’язання. 1) Об’єм початкових куль:  і 
2) Об’єм отриманої кулі 
3) 3 іншого боку за відомою формулою  Маємо  

Додаткові відомості про тіла обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання

  • Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
  • Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін
За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:
Sбіч = 2πrh.
  • Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів


За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:
Sбіч = πrl.
Площа повної поверхні конуса:
Sбіч = πr(l+ r).
  • Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його [1]

При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).
Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа
Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.
  • Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:
Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.
Наприклад, для тора радіусом R i з радіусом кола r, довжина лінії s = 2 \pi r, довжина кола для центру мас l = 2 \pi R, звідки площа поверхні тора s \cdot l = 4 \pi^2 r R.
  • Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:
Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.
Наприклад, для тора радіусом R i з радіусом кола r, площа кола A = \pi r^2, довжина кола обертання центру мас l = 2 \pi R, звідси об'єм тора A \cdot l = 2 \pi^2 r^2 R

Немає коментарів:

Дописати коментар