Об’єм кулі. Тіла обертання

 Об’єм кулі.

Об’єм кулі V, радіус якої дорівнює r, обчислюється за формулою:

Приклад. Необхідно переплавити в одну кулю дві чавунні кулі радіусами 5 см і 6 см. Знайти (з точністю до десятих сантиметра) радіус нової кулі.

Розв’язання. 1) Об’єм початкових куль:  і 

2) Об’єм отриманої кулі 

3) 3 іншого боку за відомою формулою  Маємо  


Додаткові відомості про тіла обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Приклади тіл обертання

• Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
• Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:

S_біч = 2πrh.

• Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:

S_біч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

S_біч = πr(l+ r).

• Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його ^[1]

При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа

Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.

• Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.

Наприклад, для тора радіусом  i з радіусом кола , довжина лінії , довжина кола для центру мас , звідки площа поверхні тора .

• Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.

Наприклад, для тора радіусом  i з радіусом кола , площа кола , довжина кола обертання центру мас , звідси об'єм тора