Многогранник, описаний навколо кулі.

Многогранник, описаний навколо кулі.

Многогранник називають описаним навколо кулі, якщо всі його грані дотикаються до поверхні кулі.

При цьому кулю називають вписаною у многогранник.

Основні властивості призми, описаної навколо кулі, такі (мал. 513):

1) Кулю можна вписати у пряму призму, якщо її основою є многокутник, у який можна вписати коло, а висота призми дорівнює діаметру цього кола.

2) Центр кулі є серединою висоти призми, яка сполучає центри кіл, вписаних у многокутники основ призми.

Приклад 1. Відомо, що в трикутну призму, сторони основ якої дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см, можна вписати кулю. Знайти радіус цієї кулі.

Розв’язання. 1) Діаметр вписаної кулі дорівнює висоті призми і в той самий час дорівнює діаметру кола, вписаного в основу призми. Отже, радіус кола, вписаного в основу призми дорівнює радіусу кулі.

2) Радіус кола r, вписаного в основу призми, знайдемо за формулою r = S/p, де S - площа трикутника основи, р - його півпериметр.

4) За формулою Герона

6) Отже, радіус кулі також дорівнює 4 см.

Сформулюємо основні властивості піраміди, описаної навколо кулі (мал. 514).

1) Якщо в піраміді всі двогранні кути при основі рівні між собою, то в цю піраміду можна вписати сферу. Центр сфери належить висоті піраміди, точка дотику з основою піраміди збігається з центром вписаного в основу кола, а точки дотику з бічними гранями належать висотам цих граней.

2) У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю. Центр кулі належить висоті піраміди.

3) Центр кулі, вписаної у правильну піраміду, збігається з центром кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, бічною стороною якого є апофема правильної піраміди, а висотою — висота піраміди. Радіус кулі дорівнює радіусу цього кола.

Приклад 2. Відомо, що в трикутну піраміду, висота якої дорівнює 20 см, а висота однієї з бічних граней 25 см, можна вписати кулю. Знайти її радіус.

Розв’язання. 1) Нехай QK - висота трикутної піраміди QABC, а QM - висота бічної грані (мал. 514). За умовою QK = 20 см, QM = 25 см.

2) За умовою в піраміду можна вписати кулю. Нехай центр цієї кулі – точка О, а точка L - точка дотику кулі до бічної грані QAC, L  QM.

3) Позначимо OK = OL = r - радіус вписаної кулі.

4) Прямокутні трикутники ОКМ і OLM рівні (за катетом і гіпотенузою). Тому OMK = OML, а отже, МО - бісектриса кута QMK, а тому й трикутника QMK.

5) За властивістю бісектриси трикутника маємо 

7) Врахуємо, що OQ = QЯК - ОК, та підставимо у рівність (1):  звідси r = 8 ∙ 4/7(см).

Зауважимо, що в геометрії розглядають також інші комбінації геометричних тіл (наприклад, циліндра і піраміди, кулі і циліндра тощо).