Види призм. Площі бічної і повної поверхні призми.

Пряма і правильна призма. 

Площі бічної і повної поверхні призми. 

Паралелепіпед. 

Прямокутний паралелепіпед

Пряма призма – це призма, що має перпендикулярні до основ бічні ребра.

Якщо ця умова не виконується, то призма називається похилою.

У прямої призми всі бічні грані – прямокутники.

На зображенні прямої призми на площині бічні ребра розміщують вертикально.

Пряма призма, в основі якої лежить правильний многокутник, називаєтьсяправильною призмою.

Площа бічної поверхні прямої призми є добутком периметра основи на висоту призми.

Площа бічної поверхні похилої призми дорівнює добутку периметра перерізу призми площиною, перпендикулярною бічному ребру, на довжину бічного ребра призми.

Сума площ основ призми і бічної поверхні призми дорівнює площі повної поверхні призми.

Паралелепіпед — це призма, основою якої є паралелограм.

Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

Прямокутний паралелепіпед — паралелепіпед, основою якого є прямокутник, а бічні ребра перпендикулярні основам.

Бічні грані прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні його основам.

Лінійними розмірами прямокутного паралелепіпеда є довжини його непаралельних ребер.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі.

Квадрат будь-якої діагоналі прямокутного паралелепіпеда є сумою квадратів трьох його вимірів.

Точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром симетрії.

Через центр симетрії прямокутного паралелепіпеда проходять три площини, паралельні граням, які є площинами симетрії прямокутного паралелепіпеда.

Якщо у паралелепіпеда всі лінійні розміри різні, то у нього немає інших площин симетрії.

Якщо у прямокутного паралелепіпеда два лінійні розміри рівні, то він має ще дві площини симетрії, Це площини діагональних перерізів.

Прямокутний паралелепіпед, усі лінійні розміри якого рівні, називаєтьсякубом. Куб має дев’ять площин симетрії.

Усі грані куба є квадратами.

Площа бічної поверхні куба дорівнює квадрату його ребра, помноженому на чотири.

Площа повної поверхні куба дорівнює квадрату його ребра, помноженому на шість.

Означення призми. Елементи призми. Види призм.

Призмою називають многогранник, у якого дві грані (які називаються основами), рівні і їх відповідні сторони паралельні, а інші грані - паралелограми, у кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами основ.

На малюнку 448 зображено призму, основи якої АВСD і А₁B₁С₁D₁. Тому призму називають призмою АВСDА₁B₁С₁D₁. За ознакою паралельності площин маємо властивість призми:

основи призми паралельні.

Грані призми, які не є гранями основ називають бічними гранями призми, а сторони бічних граней, які належать основам - бічними ребрами призми. На малюнку 448 паралелограми АА₁D₁D, АВВ₁А₁, ВВ₁С₁С і СС₁D₁D - бічні грані призми; відрізки АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ - бічні ребра призми.

Зрозуміло, що: всі бічні ребра призми рівні і паралельні.

Призму називають n-кутною, якщо її основою є n-кутник.

На малюнку 448 зображено чотирикутну призму.

Перпендикуляр, проведений з деякої точки однієї основи до площини іншої основи, називають висотою призми.

На малюнку 448: А₁К - висота призми.

Відрізок, що сполучає дві вершини призми, які не належать одній грані, називають діагоналлю призми.

На малюнку 448: А₁С - діагональ призми.

Призму називають прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, в протилежному випадку призму називають похилою.

На малюнку 448 зображено похилу чотирикутну призму, а на малюнку 449 - пряму трикутну призму.

Зрозуміло, що бічні грані прямої призми - прямокутники, а висота прямої призми дорівнює її бічному ребру.

Пряму призму називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник.

На малюнку 450 зображено правильну чотирикутну призму, її основа - квадрат АВСD. У правильній призмі всі бічні грані - рівні прямокутники.

Приклад 1. Висота похилої призми дорівнює 4 см. Знайти бічне ребро призми, якщо воно утворює з площиною основи кут 60º.

Розв’язання. 1) Оскільки многокутник, що лежить в основі призми не має значення, використаємо малюнок 448. За умовою А₁К = 4 см; де А₁К - висота призми.

2) АК - проекція АА₁ на площину основи. Тому A₁AK - кут, що утворює бічне ребро із площиною основи. За умовою А₁АК = 60°.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із гіпотенузою 20 см і катетом 16 см. Знайти довжину діагоналі грані призми, що містить менший катет трикутника, якщо висота призми дорівнює 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - трикутна призма, що задана в умові; C = 90°, АВ = 20 см; ВС = 16 см; СС₁ = 5 см.

2) В ∆АВС: 

3) Отже АС < ВС, а тому необхідно знайти діагональ бічної грані, що містить АС, тобто довжину відрізка АС₁.

4) В ∆АСС₁: 



ОЗНАЧЕННЯ І ОСМИСЛЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ КУБА

Означення. Многогранник – це таке просторове тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників.   

Означення. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників на його поверхні.  Спільна частина такої площини й поверхні опуклого многокутника називається гранню.

Означення. Многогранна поверхня - це поверхня, утворена плоскими многокутниками(гранями поверхні) так, що кожна сторона будь-якого з цих многокутників(ребро поверхні) є стороною ще одного многокутника(суміжного з першим), а від кожної грані можна перейти до будь-якої іншої, переходячи послідвно по суміжних гранях. Вершини многогранників – це вершини многокутників, які складають його поверхню.

Означення. Правильний многогранник – опуклий многогранник, усі грані якого – рівні правильні многокутники і всі многогранні кути якого рівні (такий, наприклад, правильний тетраедр, куб, октаедр, ікосаедр, додекаедр). Із цього визначення випливає, що у правильних многогранниках рівні всі плоскі кути, всі двогранні і  так далі … рівні n-гранні кути і всі ребра. Іншими словами, опуклий многогранник називається правильним , якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією самою кількістю сторін , а в кожній вершині многогранника сходиться одне й теж число ребер.

Виберемо за грань правильного многогранника квадрат. Кожен кут квадрата 90º. Проробимо такі ж дослідження.

1) 90º · 3 = 270º,  270º < 360º;   2) 90º · 4 = 360º, 360º = 360º; 3) 90º · 5 = 450º, 450º > 360º.

Бачимо, що з квадратів можна скласти лише один вид многогранників – куб або гексаедр. Межа  цього многогранника складається з шести рівних квадратів; многогранні кути при кожній вершині тригранні і рівні при кожній вершині сходяться три ребра.                   

Означення. Кубом називається  прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Означення. Грані куба, які не мають спільних точок називаються протилежними гранями.

Означення. Грані куба, які мають спільну точку називаються суміжними гранями.

Означення. Точка куба називається граничною, якщо вона належить кубу і довільна куля з центром в цій точці містить точки, які не належать кубу. Множина усіх граничних точок називається поверхнею куба. Сума площ усіх граней куба називається площею поверхні куба.

Куб можна розглядати як обмежене тривимірне випукле тіло, яке являється перетином шести півпросторів.  Одна площина може містити щонайбільше  чотири вершини куба.  Одна площина може містити щонайбільше  чотири ребра куба. Куб складається з шести рівних між собою квадратів, які розміщені в паралельних та перпендикулярних площинах.  Куб має три пари паралельних площин. І дві трійки взаємно перпендикулярних площин. До речі, усі ці шість площин розбивають простір на 27 частин. (дев’ять частин верхніх, дев’ять частин середніх, дев’ять частин нижніх). Куб або гексаедр – це окремий випадок паралелепіпеда і призми. Кожна грань куба може розглядатися як основа куба, або як бічна грань куба.

Перетином двох довільних кубів – випуклий многогранник.

 Куб  у класифікації многогранників

Многогранники – просторова фігура, що складається тільки з многокутників, які називаються гранями.
Опуклі многогранники - це многогранник, всі діагоналі якого лежать у внутрішній частині просторової фігури. Многогранники лежать по одну сторону від будь-якої своєї грані.
Многокутні призми – це многогранник, з рівними двома основами, які суміщаються паралельними перенесенням і з бічними гранями паралелограмами.
Прямі n-кутні призми – з бічними гранями  прямокутниками.	Похилі n-кутні призми
4-кутні призми – з двома рівними основами чотирикутниками.	Похилі 4-кутні призми
Паралелепіпеди – будь-які дві протилежні грані це рівні і паралельні паралелограми.
Прямі паралелепіпеди - з двома рівними основами паралелограмами і перпендикулярними до них бічними ребрами.	Похилі паралелепіпеди
Прямокутні  паралелепіпеди - з двома рівними основами прямокутниками і бічними гранями прямокутниками.	Ромбоїди – усі грані ромби
Куби - з усіма рівними гранями, які являються квадратами.

Контрольні запитання для самоперевірки.

1. Нехай два ребра куба  m i n лежать на мимобіжних прямих, і два ребра  m i k теж лежать на мимобіжних прямих. Чи можуть ребра k і n бути: а) паралельними; б) мимобіжними; в) перетинатися?

2. Нехай два ребра куба  m i n лежать на паралельних прямих, і два ребра  m i k теж лежать на паралельних прямих. Чи можуть ребра k і n бути: а) паралельними; б) мимобіжними; в) перетинатися?

3. Нехай два ребра куба  m i n лежать на мимобіжних прямих, і ребро  k перетинає ці мимобіжні ребра.  Ребро l не перетинає ці мимобіжні ребра.  Чи можуть ребра k і l бути: а) паралельними; б) мимобіжними; в) перетинатися?

4. Нехай є чотири довільні вершини куба Q, W, S, Z.

а)Скільки існує різних площин, яким належить  довільні три вершини із даних чотирьох вершин?

б)Чи можна цими площинами обмежити правильну трикутну піраміду?

5. Чи існує дві взаємно перпендикулярні площини, кожна з яких містить рівно чотири вершини куба, і при цьому будь-яка вершина куба не належить одразу двом площинам?

УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ ПРОСТОРОВОГО КУБА

Після тривимірного куба варто розглянути і чотиривимірний куб. У чотиривимірного куба існують тривимірні грані, які являються відомими нам кубами. На  малюнку зображена проекція  сукупностей дво-, три-, чотиривимірного куба на площину.

Аналог куба в чотиривимірному евклідовому просторі має спеціальну назву – тесеракт, або іншими словами – гіперкуб. Аналог куба в n-вимірному евклідовому просторі називається n-вимірним гіперкубом, або просто n-кубом.

В математичній теорії також для повноти розглядають куби менших розмірностей. Так, 0-вимірний куб – це просто точка. 1-вимірний куб – це відрізок. 2-вимірний куб – це квадрат.

Означення. Тесеракт (від грец. Τέσσερες  – чотири променя) – чотиривимірний гіперкуб – аналог тривимірного куба в 4-вимірному просторі.

БАНК ЗАДАЧ

Група А

1.Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁  дорівнює 2. Знайти:

1) діагональ бічної грані;

2) діагональ куба;

3) відстань між мимобіжними діагоналлю бічної грані та ребром куба;

4) відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней куба;

5) відстань між діагоналлю куба та та ребром куба;

6) відстань між мимобіжними гранями куба.

7) відстань між паралельними діагоналями граней куба.

2. Знайти кут між мимобіжними діагоналями сусідніх граней куба.

3. Знайти площу шестикутника, що утворений серединами ребер куба.

4.Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁  дорівнює 4. Знайти:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю куба і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

5.Ребро куба АВСDА₁В₁С₁D₁  дорівнює 8. Знайти:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю куба і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

Група Б

1.Наведіть приклади тіл, які мають форму паралелепіпеда, з навколишнього середовища.

2.Чи вірно, що довільні три сусідні вершини куба задають площину грані куба?

3.Чи вірно, що два довільні бічних ребра куба задають грань куба?

4.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба і паралельне до нього  ребро верхньої основи куба задають грань куба?

5.Чи вірно, що грань нижньої основи куба являється перпендикулярною до бічних граней куба?

6.Чи вірно, що дві бічні ребра куба утворюють перпендикулярні грані куба?

7.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?

8.Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?

9.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?

10.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?

11.Чи вірно, що деякі бічні ребра куба являються перпендикулярними?

12. Три грані паралелепіпеда - прямокутники. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед прямокутний?

13.Три грані паралелепіпеда - квадрати. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед куб?

14. Три грані многогранника - трикутника. Чи випливає з цього, що це призма?

15. Чи можна, знаючи положення п’яти будь-яких вершин куба, однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі?

16. Чи можна, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

17. Чи можна, знаючи чотири вершини куба, що являються кінцями трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

18. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до ребер куба?

19. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до діагоналей граней куба?

20. Скільки відрізків, кінці яких лежать на поверхні  куба належать до діагоналей куба?

21. Скільки різних площин, що утворюються на множині восьми вершин куба (кожна з цих площин містить хоч а б три вершини  куба)?

22. Скільки діагональних перерізів має куб?

23. Скільки січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі тільки три вершини куба?

24. Чи можна отримати в перерізи куба площиною: а)правильний трикутник; а)правильний чотирикутник; а)правильний п’ятикутник; а)правильний шестикутник?

25. Скільки різних (рівних) правильних тетраедрів можна побудувати на восьми вершинах куба?

26. Скільки різних (рівних) чотирикутних пірамід можна побудувати на восьми вершинах куба?

27. Яке відношення між числом граней, числом вершин, та числом ребер має місце для многогранника?

28. Чи можна провести площину, яка перетинає тригранний кут куба, так, щоб у перерізі утворився тупокутний трикутник?

29. Чи завжди  можна провести площину, яка перетинає чотиригранний кут, так, щоб у перерізі утворився паралелограм? 

30. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

31. Чи існує многогранник з п’ятьма ребрами?

32. Чи існує многогранник з шістьма ребрами?

33. Чи існує многогранник з сімома ребрами?

34. Чи може призма мати вісім ребер?

35. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, що проходить через центр куба перпендикулярно його діагоналі?

36. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, яка визначається кінцями трійки ребер куба, що виходять із однієї вершини?

37.1 Чи існує многогранник  з непарним числом граней, кожна з яких містить непарне число сторін?

37.2 Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню правильного тетраедра по квадрату?

38. Який многокутник утворюється при перетині поверхні правильного тетраедра площиною, паралельною двом його протилежним ребрах? Чи вірно, що периметр цього перерізу не залежить від вибору такої січної площини.

39. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню куба по правильному шестикутнику?

40. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

41.Покажіть, що існує тетраедр (тобто трикутна піраміда), висоти якого не перетинаються в одній точці.

42. Покажіть,, що кожна трикутна піраміда володіє плоским перерізом у формі ромба.

ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛЕПІПЕДИ»

1.Виміри прямокутного паралелепіпеда, виміри 9 см, 12 см і 20 см. Знайдіть:

1) площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда;

2) суму усіх ребер паралелепіпеда;

3) об’єм паралелепіпеда;

4) площу діагональних перерізів паралелепіпеда;

5) кількість різних трикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми.

6) кількість різних чотирикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми та поверхні;

7) кількість способів, якими можна дістатися найкоротшим шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам паралелепіпеда від однієї вершини до протилежної вершини; 

8) кількість центрів симетрій паралелепіпеда;

9) кількість осей симетрій паралелепіпеда;

10) кількість площин симетрій паралелепіпеда;

11) площу поверхні сфери, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

12) об’єм кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

13) кількість відрізків, з кінцями у вершинах паралелепіпеда.

14)

2.Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 12 см і 4 см.

Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

3.В основі прямого паралелепіпеда з висотою 5 см лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

ПОВЕРХНЯ ПРИЗМИ

1. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну по­верхню призми.

б) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут с. Радіус  кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює r. Визначити бічну поверхню призми.

в)Визначте площу бічної поверхні похилої призми, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, периметр основи дорівнює 21 см, а периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра, - 17 см (задача має зайві дані).

2. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну поверхню призми.

б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює H. Діаго­наль призми утворює з бічним ребром кут α. Визначити бічну поверх­ню призми.

в)У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ діагональ В₁D дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом  а. Тоді довжина бічного ребра ВВ₁ обчислюється за формулою…

3.  а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагонал­лю d. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут α, а діагональ бічної грані — кут β. Визначити бічну поверхню призми.

б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю d. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню призми.

4.а)Основою прямокутної призми є прямокутний трикутник із катетом 5 см і гіпотенузою 13 см. Висота призми дорівнює 8 см. Знайдіть поверхню бічної поверхні призми.

б)Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 12 см, а сторони основи - 8 см і 6 см.

 в)Двогранний кут дорівнює 30^о. Точка А, що лежить на одній із граней цього кута, віддалена, від ребра цього кута на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до другої грані.

  г)  Основа прямого паралелепіпеда – ромб із більшою діагоналлю 4(3)^0,5 см і гострим кутом 60^о. Знайдіть повну поверхню паралелепіпеда S_повн. У відповідь запишіть S_повн.:(3)^0,5.

ОБ’ЄМ ПРИЗМИ

1. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площи­ною основи кут α. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том α при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.

2. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом a при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторо­ну цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том a при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.

3. а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом α і гіпотенузою с. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з го­стрим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

4. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ та радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить сто­рону, для якої дані кути є прилеглими, утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ. Діа­гональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилег­лими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

5.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом α між діагоналями. Діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d,    яка утворює зі стороною основи кут β. Діагональ призми утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

6. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з го­стрим кутом α. Більша діагональ трапеції дорівнює d і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом α. Менша діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Мен­ша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

7. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом α. Діагоналі цієї трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з тупим кутом α. Діагоналі цієї трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діа­гональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

8. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4см  і 10 см та з бічною стороною 5см.  Бічне ребро призми дорівнює 10см.  Обчисліть повну поверхню призми.

9.   Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють a i b. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом  b. Визначити висоту паралелепіпеда.

10. Площа основи правильної чотирикутної призми 25см², а її бічне ребро-10см.Знайти площу бічної поверхні призми.

11.Основа прямої призми-ромб зі стороною а і гострим кутом a. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут b. Визначити площу бічної поверхні призми.

12. Площина яка проходить через сторону основи правильної трикутної призми і протилежну вершину іншої основу,утворює з площиною основи кут b. Діагоналі бічних граней призми дорівнюють l ,а кут між ними - a. Визначте висоту призми.

13. Основа прямої призми - прямокутний трикутник з катетами а і b. Діагоналі бічної грані,що містить гіпотенузу,утворює з площиною основи кут b. Визначте висоту призми.

14. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 60 см²,а її бічне ребро - 10см.Знайти площу основи призми.

15. Основою прямокутної призми є прямокутник діагональ якого дорівнює а і утворює зі стороною кут а. Визначити площу бічної призми, якщо її діагональ утворює з площиною основи кут b.

16. Через сторону нижньої основи правильної трикутної призми і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз,який утворює з площиною основи кут b. Перерізом є трикутник з кутом а при вершині верхньої основи, висота призми - Н. Визначити площу перерізу.

17. У правильній чотирикутній призмі сторона основи 3(2)^0,5, а бічне ребро – 8см. Знайти діагональ призми.