ПРО ОБ’ЄМИ ОПУКЛИХ І
НЕОПУКЛИХ МНОГОГРАННИКІВ
Куб складається з шести рівних між собою квадратів, які розміщені в
паралельних та перпендикулярних площинах.
Три пари паралельних площин. І дві трійки взаємно перпендикулярних
площин. До речі, усі ці шість площин розбивають простір на 27 частин. (дев’ять
частин верхніх, дев’ять частин середніх, дев’ять частин нижніх).
Чи можна з однакових граней скласти опуклий і неопуклих многогранники?
Звичайно можна, скажете Ви. Один із прикладів наведено на
цьому малюнку.
Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якій площині, що містить її грань.
Многогранник називається неопуклих, якщо існує така грань, що многогранник виявляється по обидві сторони від площині, що містить цю грань.Нехай з однакових наборів граней вдалося скласти опуклий і неопуклих многогранник. У якого з них обсяг буде більше?
Виявляється можна так підібрати межі, що обсяг неопуклого многогранника буде більше обсягу опуклого, складеного з тих же граней. Далі розповідається про найкращий відомому такому прикладі.
Розглянемо два трикутника (точні довжини сторін будуть вказані на малюнку), які і будуть гранями майбутніх многогранників. Як ми бачимо, кожен трикутник одночасно стає гранню і в одному, і в іншому многограннику. Той многогранник, який будується зліва, буде опуклим, той, що праворуч - неопуклих.
Обидва побудованих многогранника - октаедри (хоча і не правильні), тобто мають по 6 вершин і 8 граней.
Що таке в життєвому сенсі об'єм тіла, зокрема многогранника? Це те, скільки рідини може бути налита всередину цього многогранника. Відріжемо вершинки і наллємо всередину кожного многогранника воду. Опуклий многогранник вже наповнився, а неопуклих - ще ні. Але, можливо, вода наливалася з різною швидкістю: щоб правильно порівняти обсяги, виллємо рідину з кожного многогранника в однакові склянки. Рівень води в правому стакані вище, ніж у лівому, значить, обсяг неопуклого многогранника дійсно більше обсягу опуклого.
Якщо порахувати акуратно, то можна обчислити, що відношення обсягу неопуклого многогранника до обсягу опуклого одно 1,163.
У нашій задачі дійсно правильніше розглядати відношення об’ємів, а не їх різницю, тому що ставлення не залежить від розмірів початкових трикутників, використаних в якості граней для побудови многогранників.
У розглянутому прикладі обсяг побудованого неопуклого многогранника більш ніж на 16% більше обсягу опуклого. Дані многогранники ви можете реалізувати самі, використовуючи межі з зазначеними сторонами. При цьому, якщо центри октаедрів розташувати на початку координат, то, з точністю до повороту, координати вершин будуть такі, як приведені на малюнку.
Тут розглянуто приклад побудови двох многогранників, запропонований С.М. Михальова в 2002 році, у той час аспірантом механіко-математичного факультету МДУ. Це кращий з відомих прикладів (з максимальним відомим відношенням об’ємів многогранників).
Проте до цих пір невідомо, наскільки великим може бути відношення об’єму неопуклого многогранника до об’єму опуклого, складеного з тих же граней. Це питання ще чекає свого дослідника!
Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від будь-якій площині, що містить її грань.
Многогранник називається неопуклих, якщо існує така грань, що многогранник виявляється по обидві сторони від площині, що містить цю грань.Нехай з однакових наборів граней вдалося скласти опуклий і неопуклих многогранник. У якого з них обсяг буде більше?
Виявляється можна так підібрати межі, що обсяг неопуклого многогранника буде більше обсягу опуклого, складеного з тих же граней. Далі розповідається про найкращий відомому такому прикладі.
Розглянемо два трикутника (точні довжини сторін будуть вказані на малюнку), які і будуть гранями майбутніх многогранників. Як ми бачимо, кожен трикутник одночасно стає гранню і в одному, і в іншому многограннику. Той многогранник, який будується зліва, буде опуклим, той, що праворуч - неопуклих.
Обидва побудованих многогранника - октаедри (хоча і не правильні), тобто мають по 6 вершин і 8 граней.
Що таке в життєвому сенсі об'єм тіла, зокрема многогранника? Це те, скільки рідини може бути налита всередину цього многогранника. Відріжемо вершинки і наллємо всередину кожного многогранника воду. Опуклий многогранник вже наповнився, а неопуклих - ще ні. Але, можливо, вода наливалася з різною швидкістю: щоб правильно порівняти обсяги, виллємо рідину з кожного многогранника в однакові склянки. Рівень води в правому стакані вище, ніж у лівому, значить, обсяг неопуклого многогранника дійсно більше обсягу опуклого.
Якщо порахувати акуратно, то можна обчислити, що відношення обсягу неопуклого многогранника до обсягу опуклого одно 1,163.
У нашій задачі дійсно правильніше розглядати відношення об’ємів, а не їх різницю, тому що ставлення не залежить від розмірів початкових трикутників, використаних в якості граней для побудови многогранників.
У розглянутому прикладі обсяг побудованого неопуклого многогранника більш ніж на 16% більше обсягу опуклого. Дані многогранники ви можете реалізувати самі, використовуючи межі з зазначеними сторонами. При цьому, якщо центри октаедрів розташувати на початку координат, то, з точністю до повороту, координати вершин будуть такі, як приведені на малюнку.
Тут розглянуто приклад побудови двох многогранників, запропонований С.М. Михальова в 2002 році, у той час аспірантом механіко-математичного факультету МДУ. Це кращий з відомих прикладів (з максимальним відомим відношенням об’ємів многогранників).
Проте до цих пір невідомо, наскільки великим може бути відношення об’єму неопуклого многогранника до об’єму опуклого, складеного з тих же граней. Це питання ще чекає свого дослідника!
Немає коментарів:
Дописати коментар