Площі бічної та повної поверхонь циліндра.

Площа поверхні циліндра

Площі бічної та повної поверхонь циліндра.

Площа бічної поверхні циліндра S_6іч радіус основи якого дорівнює r, а висота h обчислюється за формулою

Щоб знайти площу повної поверхні циліндра S_повн необхідно до площі його бічної поверхні додати площі двох його основ. Оскільки основою є круг, площа якого дорівнює πr², то маємо

Приклад. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 4 см і утворює кут 60º із площиною основи. Знайти площу бічної поверхні циліндра.

Розв’язання. 1) На малюнку 484 зображено осьовий переріз циліндра - прямокутник АВВ₁А₁, діагональ якого А₁В = 4 см, A₁BA = 60°.



Впишемо у циліндр правильні -кутні призми, основами яких є правильні -кутники. Нехай число n прямує до нескінченності. Зрозуміло, що тоді із зростанням n призми все менше і менше відрізняються від самого циліндра.

Означення. Границя, до якої прямують площ

і поверхонь вписаних у циліндр правильних n-кутних призм, коли число , називають площею поверхні циліндра.

При необмеженому зростанні  площа кожної основи вписаної призми прямує до площі основи самого циліндра, тобто до площі круга.

Теорема. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту циліндра.

Доведення.
Як відомо, площа бічної поверхні вписаної n-кутної призми

де  - периметр основи призми,  - її висота.
Тоді , але  є довжиною кола основи циліндра. Якщо її позначити , тоді ,  де   - радіус циліндра.
Повна поверхня циліндра буде обчислюватися за формулою  

Якщо розрізати бічну поверхню циліндра вздовж твірної і розгорнути її на площині, то отримаємо прямокутник, який називаєтьсярозгорткою бічної поверхні циліндра.

 

Дайте відповіді на питання:

1) Дайте означення призми, вписаної у циліндр.
2) Яку призму можна вписати в циліндр?
3) Дайте означення дотичної площини до циліндра.
4) Яка призма називається описаною навколо циліндра?
5) Як знайти площу бічної поверхні циліндра?
6) Чому дорівнює повна поверхня циліндра?