Означення паралелепіпеда, його властивості.

ПАРАЛЕЛЕПІПЕД.

1. Означення паралелепіпеда, його властивості.

Паралелепіпедом називають призму, основою якої є паралелограм.

У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.

Оскільки паралелепіпед є призмою, то всі властивості призми справедливі і для паралелепіпеда.

Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площин основи, називають прямим паралелепіпедом. Його бічні грані - прямокутники. На малюнку 459 зображено прямий паралелепіпед.

Якщо ж бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим. На малюнку 460 зображено похилий паралелепіпед.

Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називають протилежними гранями. На малюнку 460 протилежними гранями є грані АВСD і А₁В₁C₁D₁, АВВ₁А₁ і СDD₁С₁, АА₁D₁D і ВВ₁С₁С.

Розглянемо властивості паралелепіпеда.

1) Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.

2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

Приклад 1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 10 см і 17 см, а одна з діагоналей основи 21 см. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 29 см. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) Нехай а = 10 см і b = 17 см - сторони основи; d₁ = 21 см - діагональ основи. За властивістю діагоналей паралелепіпеда:  звідси

 Оскільки  < 21, то більшою діагоналлю паралелепіпеда є та, проекцією якої на площину основи є діагональ основи з довжиною 21 см.

2) (мал. 459) АС = 21 см; А₁С = 29 см.

3) Оскільки прямий паралелепіпед є видом прямої призми, то площу бічної поверхні S_бічпрямого паралелепіпеда можна знайти за формулою S_біч = Рl, де Р - периметр основи, l - довжина бічного ребра.

Р = 2(10 + 17) = 54 (см). S_біч = 54 ∙ 20 = 1080 (см²).

Приклад 2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі ромба. Знайти об’єм паралелепіпеда.

Розв’язання. 1) Нехай АВСDА₁В₁С₁D₁ - заданий в умові паралелепіпед; АВСD - ромб; АВ = 4 см; BAD = 60° (мал. 461).

2) Площа основи 

3) ∆АВБ - рівносторонній; BD = АВ = 4 см.

4) В ∆АВС: АВС = 90° , за теоремою косинусів:

5) Оскільки ВD < АС, то В₁D - менша діагональ паралелепіпеда.

7) Тоді об’єм 

ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД. 

ОБ’ЄМ. ПЛОЩА ПОВЕРХНІ.

Варіант 1

1.     Маємо дротяний каркас прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 4 см, 6 см, 12 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготовлення цього каркасу?

1) 22 см; 2) 66 см; 3) 44 см; 4) 88 см.

2.     Які з наведених розмірів могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 300 см³ ?

1) 15; 4; 6;    2) 12; 6; 5;     3) 6; 5; 10;    4) 25; 6; 4;   5) 2, 10, 15;    6) 2, 5, 30.

3.     Яка з наведених рівностей неправильна?

1) 1 м³ =  1000 дм³;  1 дм³ =  1000000 см³;  6 дм³ 5 см³ = 605 см³ ;

2) 1м³ =  1000000 см³;  10 дм³ =  10000 см³;  2 м³ 3 дм³ = 2003 дм³;

3) 1м³ =  1000 дм³;  10 дм³ =  1000000 см³;  5 000 115 см³ = 5 м³ 115 см³;

4) 1см³ =  1000 мм³;  10дм³ =  10000 см³;  12 см³ 24 мм³ = 12 024 mm³,

4.  Із заліза виплавили три куби з різними ребрами: по 3 дм, по 4 дм і 5 дм. Потім їх усі розпла­вити і виплавити один куб. Яка можлива сума довжин  ребер одного  куба, якщо вона є натуральним числом? 1) 12 дм; 2) 60 см; 3) 6 дм; 4) 30 дм;  5) 120 см;  6) 96дм;  7) 84 дм;   8) 72 см;  9) 36 см;   10) 48 см;  11) 72 см.

Варіант 2

1.     Маємо дротяний каркас прямо­кутного паралелепіпеда, виміри якого 2 см, 3 см і 5 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготов­лення цього каркасу?

1) 15 см; 2) 20 см; 3) 40 см; 4) 30 см.

2.     Які з наведених трійок чисел могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 360 см³ ?

1) 12, 6, 5;  2) 9, 12, 5;    3) 15, 6, 5;    4) 8, 5, 11;  5) 2, 10, 18;    6) 1, 12, 30.

3.     Яка з наведених рівностей неправильна?

1) 1см³ =  1000 мм³;  10дм³ =  10000 см³;  82 дм³ 14 мм³ = 8 200 014 мм³;

2) 1м³ =  1000 дм³;  10 дм³ =  1000000 см³;  5 м³ 15 дм³ = 5 015 дм³;

3) 1м³ =  1000000 см³;  10 дм³ =  10000 см³;  4 дм³ 8 см³ = 4 008 см³;

4) 10 м³ =  10000 дм³;  1 дм³ =  1000000 мм³;  15 см³ 12 мм³ = 15 012 мм³.

4.     Яке з наведених чисел може виражати довжину дроту (у см), потрібно­го для виготовлення каркасної моделі куба, довжина ребра якого ста­новить ціле число сантиметрів?

1) 40;   2) 96;   3) 64;  4) 94. 5) 120;  6) 96;  7) 84;   8) 72;  9) 36;   10) 48;  11) 

ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД. 

ОБ’ЄМ. ПЛОЩА ПОВЕРХНІ.

Варіант 3

1.     Маємо дротяний каркас прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 4 см, 6 см, 10 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготовлення цього каркасу?

1) 122 см; 2) 86 см; 3) 74 см; 4) 80 см.

2.     Які з наведених розмірів могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 300 см³ ?

1) 15; 4; 6;    2) 12; 6; 5;     3) 6; 5; 10;    4) 25; 6; 4;   5) 2, 10, 15;    6) 2, 5, 30.

3.     Яка з наведених рівностей неправильна?

1) 1 м³ =  1000 дм³;  1 дм³ =  1000000 см³;  6 дм³ 5 см³ = 605 см³ ;

2) 1м³ =  1000000 см³;  10 дм³ =  10000 см³;  2 м³ 3 дм³ = 2003 дм³;

3) 1м³ =  1000 дм³;  10 дм³ =  1000000 см³;  5 000 115 см³ = 5 м³ 115 см³;

4) 1см³ =  1000 мм³;  10дм³ =  10000 см³;  12 см³ 24 мм³ = 12 024 mm³,

4.                     Із заліза виплавили три куби з різними ребрами: по 3 дм, по 4 дм і 5 дм. Потім їх усі розпла­вити і виплавити один куб. Яка можлива сума довжин  ребер одного  куба, якщо вона є натуральним числом? 1) 12 дм; 2) 60 см; 3) 6 дм; 4) 30 дм;  5) 120 см;  6) 96дм;  7) 84 дм;   8) 72 см;  9) 36 см;   10) 48 см;  11) 72 см.

Варіант 4

1.     Маємо дротяний каркас прямо­кутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 7 см і 5 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготов­лення цього каркасу?

1) 50 см; 2) 70 см; 3) 80 см; 4) 60 см.

2.     Які з наведених трійок чисел могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 360 см³ ?

1) 12, 6, 5;  2) 9, 12, 5;    3) 15, 6, 5;    4) 8, 5, 11;  5) 2, 10, 18;    6) 1, 12, 30.

3.     Яка з наведених рівностей неправильна?

1) 1см³ =  1000000 мм³;  10дм³ =  10000 см³;  82 дм³ 14 мм³ = 8 200 014 мм³;

2) 1м³ =  100000 дм³;  10 дм³ =  1000000 см³;  5 м³ 15 дм³ = 5 015 дм³;

3) 1м³ =  100000000 см³;  10 дм³ =  100000 см³;  4 дм³ 8 см³ = 4 008 см³;

4) 10 м³ =  100000 дм³;  1 дм³ =  1000000000 мм³;  15 см³ 12 мм³ = 15 012 мм³.

4.    Яке з наведених чисел може виражати довжину дроту (у см), потрібно­го для виготовлення каркасної моделі куба, довжина ребра якого ста­новить ціле число сантиметрів?

1) 40;   2) 96;   3) 64;  4) 94. 5) 120;  6) 96;  7) 84;   8) 72;  9) 36;   10) 48;  11)