Об’єм призми.

Об’єм призми.

Об’єм призми V дорівнює добутку її основи на висоту:

де S_осн - площа основа призми; h - висота призми.

Приклад 1. Основою похилої призми є правильний трикутник зі стороною 6 см. Бічне ребро призми дорівнює 4 см і нахилене до площини основи під кутом 60º. Знайти об’єм призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - задана в умові призма; ∆АВС - правильний; АВ = 6 см; АА₁= 4 см; А₁К - висота призми; A₁AK - кут нахилу бічного ребра до площини основи;

A₁AK = 60° (мал. 457).

2) Площа основи  де а = АВ - сторона основи.

Маємо 

Приклад 2. У прямій трикутній призмі сторони основ дорівнюють 4 см; 13 см і 15 см. Через бічне ребро призми і більшу за довжиною висоту основи проведено переріз, площа якого дорівнює 60 см². Знайти об’єм призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁B₁С₁ - задана в умові призма (мал. 458); АС = 4 см; АВ = 13 см; АВ = 15 см.

2) Оскільки АС - менша сторона основи, то більшою висотою є висота ВК, що проведена до цієї сторони.

3) За формулою Герона знайдемо площу основи призми - трикутника АВС.

4) 3 іншого боку S_осн = (AC ∙ BK)/2; маємо ВК = (2 ∙ 24).4 = 12 (см).

5) Проведемо переріз через КВ і BB₁. За умовою S_KK1B1B = 60 (см²). З іншого боку S_KK1B1B = ВК ∙ ВВ₁. Маємо ВВ₁ = 60/12 = 5 (см).

6) Тоді об’єм призми V = S_OCH ∙ BB₁ = 24 ∙ 5 = 120 (см³).

Якщо у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM на малюнку 456). Тоді об’єм призми V можна знайти за формулою:

де S_пер - площа перерізу; l - довжина бічного ребра.

Приклад 3. Дві бічні грані трикутної призми мають площі 30 см² і 40 см² і утворюють кут 60°. Знайти об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - задана в умові призма (мал. 456); S_AA1B1B = 30 см²;S_BB1C1C = 40 см²; ВВ₁ = 5 см.

2) Виконавши побудови, аналогічні побудовам приклада 2 п. З цього параграфа. Матимемо: 

 БАНК ЗАДАЧ НА КУБАХ

1.Ребро куба дорівнює 2. Знайти:

1) діагональ бічної грані;

2) діагональ куба;

3) відстань між мимобіжними діагоналлю бічної грані та ребром куба;

4) відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней куба;

5) діагональ куба;

6) відстань між мимобіжними гранями куба;

ПОВЕРХНЯ ПРИЗМИ

1. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну по­верхню призми.

б) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут с. Радіус  кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює r. Визначити бічну поверхню призми.

в)Визначте площу бічної поверхні похилої призми, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, периметр основи дорівнює 21 см, а периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра, - 17 см (задача має зайві дані).

2. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну поверхню призми.

б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює H. Діаго­наль призми утворює з бічним ребром кут α. Визначити бічну поверх­ню призми.

в)У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ діагональ В₁D дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом  а.

Тоді довжина бічного ребра ВВ₁ обчислюється за формулою… .

3.  а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагонал­лю d. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут α, а діагональ бічної грані — кут β. Визначити бічну поверхню призми.

б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю d. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню призми.

ОБ’ЄМ ПРИЗМИ

1. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площи­ною основи кут α. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том α при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.

2. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом a при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторо­ну цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том a при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.

3. а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом α і гіпотенузою с. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з го­стрим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

4. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ та радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить сто­рону, для якої дані кути є прилеглими, утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ. Діа­гональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилег­лими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

5.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом α між діагоналями. Діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d,    яка утворює зі стороною основи кут β. Діагональ призми утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

6. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з го­стрим кутом α. Більша діагональ трапеції дорівнює d і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом α. Менша діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Мен­ша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

7. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом α. Діагоналі цієї трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з тупим кутом α. Діагоналі цієї трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діа­гональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

8. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4см  і 10 см та з бічною стороною 5см.  Бічне ребро призми дорівнює 10см.  Обчисліть повну поверхню призми.

9.   Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють a i b. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом  b. Визначити висоту паралелепіпеда.

10. Площа основи правильної чотирикутної призми 25см², а її бічне ребро-10см.Знайти площу бічної поверхні призми.

11.Основа прямої призми-ромб зі стороною а і гострим кутом a. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут b. Визначити площу бічної поверхні призми.

12. Площина яка проходить через сторону основи правильної трикутної призми і протилежну вершину іншої основу,утворює з площиною основи кут b. Діагоналі бічних граней призми дорівнюють l ,а кут між ними - a. Визначте висоту призми.

13. Основа прямої призми - прямокутний трикутник з катетами а і b. Діагоналі бічної грані,що містить гіпотенузу,утворює з площиною основи кут b. Визначте висоту призми.

14. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 60 см²,а її бічне ребро - 10см.Знайти площу основи призми.

15. Основою прямокутної призми є прямокутник діагональ якого дорівнює а і утворює зі стороною кут а. Визначити площу бічної призми, якщо її діагональ утворює з площиною основи кут b.

16. Через сторону нижньої основи правильної трикутної призми і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз,який утворює з площиною основи кут b. Перерізом є трикутник з кутом а при вершині верхньої основи, висота призми - Н. Визначити площу перерізу.

17..У правильній чотирикутній призмі сторона основи 3(2)^0,5, а бічне ребро – 8см. Знайти діагональ призми.