ПОНЯТТЯ ПЕРЕРІЗУ МНОГОГРАННИКА. Перерізи призми.

ПОНЯТТЯ ПЕРЕРІЗУ МНОГОГРАННИКА.

При розв’язанні деяких геометричних задач, пов’язаних із многогранниками, корисно вміти будувати на малюнку перерізи многогранника різними площинами.

Будемо називати січною площиною многогранника будь-яку площину, по обидві сторони від якої є точки даного многогранника. Січна площина перетинає грані многогранника по відрізках.Многогранник, сторонами якого є ці відрізки, і називають перерізом многогранника.

На малюнку 447 чотирикутник КLМN є перерізом трикутної піраміди QАВС.

Зауважимо, що в задачах січну площину задають одним із знайомих нам способів:

1) трьома точками, що не лежать на одній прямій, або

2) прямою і точкою, що не лежить на ній, або

3) двома прямими, що перетинаються, або

4) двома паралельними прямими.

Для побудови перерізу достатньо побудувати точки перетину січної площини із ребрамимногогранника, після чого провести відрізки, що з’єднують кожні дві побудовані точки, що належать одній і тій самій грані.

Надалі будемо розглядати найпростіші перерізи призм і пірамід.



Перерізи призми.

Розглянемо деякі найпростіші перерізи призми.

Переріз призми, який проходить через два бічних ребра, що не належать одній основі, називають діагональним перерізом.

На малюнку 452 АА₁С₁С — діагональний переріз прямої призми. Цей переріз є прямокутником, одна із його сторін - діагональ основи АС, а інша - бічне ребро АА₁. У похилій призмі діагональним перерізом є паралелограм.

Часто у задачах необхідно не тільки побудувати переріз, а й знайти його площу або периметр, або використати переріз з іншою метою.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Знайти площу діагонального перерізу призми, однією із сторін якого є більша діагональ ромба, якщо бічне ребро призми дорівнює 2 см.

Розв’язання. 1) Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ - призма, в основі якої лежить ромб ABCD, АВ = 8 см, A = 60°, АС - більша діагональ ромба (мал. 452). Тоді АСС₁А₁ - діагональний переріз, площу якого необхідно знайти. CC₁ = 2 см (за умовою).

3) У ∆ADC за теоремою косинусів:  

4) Тоді 

Часто у задачах розглядають перерізи призми, що проходять через сторону основи призми і які перетинають бічні ребра призми.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить рівносторонній трикутник, сторона якого дорівнює 2 см. Через сторону цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 30° із площиною основи і перетинає бічне ребро у його середині. Знайти довжину бічного ребра призми.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - трикутна призма, основа якої - рівнобедрений трикутник АВС, АВ = 2 см (мал. 453).

2) Через сторону АВ основу трикутника проведено переріз АВК, де К - середина СС₁.

3) Проведемо в трикутнику АВС медіану СМ, яка є також висотою цього трикутника: 

4) Оскільки CM  AB і CM є проекцією КМ на площину АВС, то за теоремою про три перпендикуляри: КМ  АВ.

Тоді КМС - кут, що утворює переріз з площиною основи. За умовою КМС = 30°.

6) Оскільки К - середина СС₁, то СС₁ = 2КС = 1 ∙ 2 = 2 (см).

Задача 1. Побудувати переріз прямокутного паралелепіпеда АВСDА1B1С1D1 площиною α, яка проходить через вершини А, С і внутрішню точку М ребра А1В1 (рис. 78).
Розв'язання
Переріз площини α з двома гранями одержимо, побудувавши відрізки АС ТАМ. Оскільки площини граней АВСD і А1В1С1D1 паралельні, то паралельні і їх лінії перетину з площиною α, тому, побудувавши МN || АС і відрізок МС, одержимо переріз — трапецію АМКС.

Розв'язування задач
1.    У трикутній піраміді SАВС провести переріз:
а) через середину ребра АС паралельно грані SСВ;
б) через середину ребра SС паралельно грані SАВ.

2.    Побудуйте перерізи куба площиною, яка проходить через точки М, К, Р, що лежать на різних гранях.
3.    Дано куб ABCDA1B1C1D1. Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через дані точки: а) С1, К, D; б) С1, К, С, де точка К — середина А1В1. З'ясуйте, яка фігура утвориться в перерізі.
 (Відповідь, а) рівнобічна трапеція; б) прямокутник.) 
4.    Точка Х ділить ребро АВ куба ABCDA1B1С1D1 у відношенні АХ : ХВ = 2 : 3. Побудуйте переріз цього куба площиною, яка паралельна площині АА1С1 і проходить через точку X. Знайдіть периметр перерізу, якщо АВ = а.  (Відповідь.  .)
5.    Доведіть, що коли перерізом паралелепіпеда е шестикутник, то його протилежні сторони паралельні.
6.    Чи може перерізом куба бути правильний п'ятикутник? 
7.    Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через точку Е, що  взята бічному ребрі, і паралельна площині основи .
8.    Побудуйте прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 і його переріз площиною, яка проходить через: а) ребро СС1 і точку перетину діагоналей грані AA1D1D; б) точку перетину діагоналей грані ABCD і паралельно площині АВ1С1. 
9.    Точка А1 ділить ребро SA тетраедра SABC у відношенні SA1 : A1A = 2 : 3. Побудуйте переріз тетраедра площиною, яка проходить через точку А1 і паралельна площині АВС. Знайдіть периметр і площу перерізу, якщо АВС — правильний трикутник і АВ = 10 см. (Відповідь. 12 см;  7 кв.см.)