Площі повної та бічної поверхонь призми. Поради до розв’язання задач на призму

Поради до розв’язання задач на призму

1. Якщо в умові задачі йдеться продіагональ бічної грані прямої призми, то пам’ятайте, що:

- Проекцією цієї діагоналі на площину основи буде відповідна сторона основи призми. Діагональ бічної грані прямої призми, відповідна їй сторона основи і бічне ребро призми, що виходить з кінця діагоналі, утворюють прямокутний трикутник;

- Кутом нахилу діагоналі бічної грані до площини основи буде кут між цією діагоналлю і відповідною стороною основи призми;

Якщо задані або знайдені діагональ бічної грані призми і кут її нахилу до площини основи, або ця діагональ і відповідна їй сторона основи, то можна знайти висоту призми за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику або наслідків теореми Піфагора.

2. Якщо в умові задачі йдеться про діагональ прямої призми, то пам’ятайте, що:

- Проекцією цієї діагоналі на площину основи буде відповідна їй діагональ основи призми. При цьому більшій діагоналі основи відповідає більша діагональ призми, меншій – менша діагональ призми. Діагональ прямої призми, відповідна їй діагональ основи і бічне ребро призми, що виходить з кінця діагоналі, утворюють прямокутний трикутник;

- Кутом нахилу діагоналі прямої призми до площини основи буде кут між цією діагоналлю і відповідною діагоналлю основи призми;

Якщо задані або знайдені діагональ прямої призми і кут її нахилу до площини основи, або ця діагональ і відповідна їй діагональ основи основи, то можна знайти висоту призми за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику або наслідків теореми Піфагора.

3. Якщо в умові задачі йдеться про переріз прямої призми площиною, то пам’ятайте, що:

- Якщо січна площина проходить, наприклад, через сторону основи прямої трикутної призми і протилежну їй вершину призми, що належить іншій основі, то перерізом буде трикутник, ортогональною проекцією якого на площину основи буде трикутник, що лежить в основі призми. Якщо відома площа такого перерізу і кут нахилу площини перерізу до площини основи, то можна знайти площу основи призми. Площа основи в такому випадку буде дорівнювати площі перерізу, помноженій на косинус кута між площинами перерізу й основи. Відповідно площа такого перерізу буде дорівнювати площі основи, поділеній на косинус кута між площинами перерізу й основи.

Щоб знайти кут між площиною перерізу і площиною основи, треба в одній із цих площин провести перпендикуляр до спільної прямої площин і з основи перпендикуляра, в другій площині провести перпендикуляр до спільної прямої площин.

У випадку правильної трикутної призми кут нахилу площини перерізу, що проходить через сторону основи прямої трикутної призми і протилежну їй вершину призми до площини основи, буде кут між відповідними висотами перерізу й основи призми.

Площі повної та бічної поверхонь призми.

Площею повної поверхні призми називають сум площ всіх її граней, а площею бічної поверхні призми - суму площ її бічних граней.

Площа S_повн повної поверхні призми виражається через площу S_біч її бічної поверхні і площуS_осн основ призми формулою

Теорема про площу бічної поверхні прямої призми. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину її бічного ребра.

Приклад 1. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, менша основа якої дорівнює 3 см, бічна сторона 4 см, а кут при основі 60°. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо її висота дорівнює більшій основі трапеції.

Розв’язання. 1) Нехай АВСDА₁В_1sub>С1D₁ - чотирикутна призма, що задана в умові; DС = 3 см, АD = 4 см, DAB = 60° (мал. 454).

2) Виконаємо планіметричний малюнок трапеції АВСD, що лежить в основі призми (мал. 455), та проведемо в ній висоти DК і СL.

4) КDСL - прямокутник, тому КL = DС = 3 см.

5) ∆ВАК = ∆СВL (за катетом і гіпотенузою), тому АК = LВ; LВ = 2 см.

6) Тоді АВ = 2 + 3 + 2 = 7 (см).

7) Висота призми ВВ₁ за умовою дорівнює більшій основі трапеції. Отже, ВВ₁ = 7 см.

Нехай у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM на малюнку 456). Тоді бічну поверхню похилої призми можна знайти за формулою:

де P_пер - периметр перерізу; l - довжина бічного ребра.

Приклад 2. У похилій трикутній призмі дві бічні грані взаємно перпендикулярні. їх спільне бічне ребро знаходиться на відстанях 3 см і 4 см від двох інших бічних ребер. Знайти довжину бічного ребра призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 120 см².

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - похила призма, у якої КL — відстань між паралельними ребрами ВВ₁ і АА₁, бічні грані АВВ₁А₁ і ВВ₁С₁С взаємно перпендикулярні (мал. 456).

2) Виберемо на ребрі ВВ₁ деяку точку L та проведемо КL  ВВ₁ та LМ  ВВ₁; LМ - відстань між паралельними ребрами ВВ₁ і СС₁, за умовою КL = 3 см; LМ = 4 см.

3) Оскільки КL  ВВ₁ і LМ  ВВ₁, то КLМ  ВВ₁ (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). Тому КLМ - кут між бічними гранями АВВ₁А₁ і ВВ₁С₁С. За умовою КLМ=90°.

5) Переріз КLМ перпендикулярний до бічних ребер призми.

 тоді бічне ребро 

БАНК ЗАДАЧ НА КУБАХ

1.Ребро куба дорівнює 2. Знайти:

1) діагональ бічної грані;

2) діагональ куба;

3) відстань між мимобіжними діагоналлю бічної грані та ребром куба;

4) відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней куба;

5) діагональ куба;

6) відстань між мимобіжними гранями куба;

ПОВЕРХНЯ ПРИЗМИ

1. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну по­верхню призми.

б) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут с. Радіус  кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює r. Визначити бічну поверхню призми.

в)Визначте площу бічної поверхні похилої призми, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, периметр основи дорівнює 21 см, а периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра, - 17 см (задача має зайві дані).

2. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну поверхню призми.

б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює H. Діаго­наль призми утворює з бічним ребром кут α. Визначити бічну поверх­ню призми.

в)У прямокутному паралелепіпеді ABCDA₁B₁C₁D₁ діагональ В₁D дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом  а.

Тоді довжина бічного ребра ВВ₁ обчислюється за формулою… .

3.  а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагонал­лю d. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут α, а діагональ бічної грані — кут β. Визначити бічну поверхню призми.

б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю d. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню призми.

ОБ’ЄМ ПРИЗМИ

1. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площи­ною основи кут α. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том α при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.

2. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом a при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторо­ну цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том a при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.

3. а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом α і гіпотенузою с. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з го­стрим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

4. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ та радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить сто­рону, для якої дані кути є прилеглими, утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ. Діа­гональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилег­лими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

5.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом α між діагоналями. Діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d,    яка утворює зі стороною основи кут β. Діагональ призми утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

6. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з го­стрим кутом α. Більша діагональ трапеції дорівнює d і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом α. Менша діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Мен­ша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.

7. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом α. Діагоналі цієї трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з тупим кутом α. Діагоналі цієї трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діа­гональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

8. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4см  і 10 см та з бічною стороною 5см.  Бічне ребро призми дорівнює 10см.  Обчисліть повну поверхню призми.

9.   Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють a i b. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом  b. Визначити висоту паралелепіпеда.

10. Площа основи правильної чотирикутної призми 25см², а її бічне ребро-10см.Знайти площу бічної поверхні призми.

11.Основа прямої призми-ромб зі стороною а і гострим кутом a. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут b. Визначити площу бічної поверхні призми.

12. Площина яка проходить через сторону основи правильної трикутної призми і протилежну вершину іншої основу,утворює з площиною основи кут b. Діагоналі бічних граней призми дорівнюють l ,а кут між ними - a. Визначте висоту призми.

13. Основа прямої призми - прямокутний трикутник з катетами а і b. Діагоналі бічної грані,що містить гіпотенузу,утворює з площиною основи кут b. Визначте висоту призми.

14. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 60 см²,а її бічне ребро - 10см.Знайти площу основи призми.

15. Основою прямокутної призми є прямокутник діагональ якого дорівнює а і утворює зі стороною кут а. Визначити площу бічної призми, якщо її діагональ утворює з площиною основи кут b.

16. Через сторону нижньої основи правильної трикутної призми і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз,який утворює з площиною основи кут b. Перерізом є трикутник з кутом а при вершині верхньої основи, висота призми - Н. Визначити площу перерізу.

17. У правильній чотирикутній призмі сторона основи 3(2)^0,5, а бічне ребро – 8см. Знайти діагональ призми.                         

Банк задач з теми «Паралелепіпеди. Куб».

1.Наведіть приклади тіл, які мають форму паралелепіпеда, з навколишнього середовища.

2.Чи вірно, що довільні три сусідні вершини куба задають площину грані куба?

3.Чи вірно, що два довільні бічних ребра куба задають грань куба?

4.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба і паралельне до нього  ребро верхньої основи куба задають грань куба?

5.Чи вірно, що грань нижньої основи куба являється перпендикулярною до бічних граней куба?

6.Чи вірно, що дві бічні ребра куба утворюють перпендикулярні грані куба?

7.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?

8.Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?

9.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?

10.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?

11.Чи вірно, що деякі бічні ребра куба являються перпендикулярними?

12. Три грані паралелепіпеда - прямокутники. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед прямокутний?

13.Три грані паралелепіпеда - квадрати. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед куб?

14. Три грані многогранника - трикутника. Чи випливає з цього, що це призма?

15. Чи можна, знаючи положення п’яти будь-яких вершин куба, однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі?

16. Чи можна, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

17. Чи можна, знаючи чотири вершини куба, що являються кінцями трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?

18. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до ребер куба?

19. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до діагоналей граней куба?

20. Скільки відрізків, кінці яких лежать на поверхні  куба належать до діагоналей куба?

21. Скільки різних площин, що утворюються на множині восьми вершин куба (кожна з цих площин містить хоч а б три вершини  куба)?

22. Скільки діагональних перерізів має куб?

23. Скільки січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі тільки три вершини куба?

24. Чи можна отримати в перерізи куба площиною: а)правильний трикутник; а)правильний чотирикутник; а)правильний п’ятикутник; а)правильний шестикутник?

25. Скільки різних (рівних) правильних тетраедрів можна побудувати на восьми вершинах куба?

26. Скільки різних (рівних) чотирикутних пірамід можна побудувати на восьми вершинах куба?

27. Яке відношення між числом граней, числом вершин, та числом ребер має місце для многогранника?

28. Чи можна провести площину, яка перетинає тригранний кут куба, так, щоб у перерізі утворився тупокутний трикутник?

29. Чи завжди  можна провести площину, яка перетинає чотиригранний кут, так, щоб у перерізі утворився паралелограм? 

30. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

31. Чи існує многогранник з п’ятьма ребрами?

32. Чи існує многогранник з шістьма ребрами?

33. Чи існує многогранник з сімома ребрами?

34. Чи може призма мати вісім ребер?

35. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, що проходить через центр куба перпендикулярно його діагоналі?

36. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, яка визначається кінцями трійки ребер куба, що виходять із однієї вершини?

37. Чи існує многогранник  з непарним числом граней, кожна з яких містить непарне число сторін?

37. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню правильного тетраедра по квадрату?

38. Який многокутник утворюється при перетині поверхні правильного тетраедра площиною, паралельною двом його протилежним ребрах? Чи вірно, що периметр цього перерізу не залежить від вибору такої січної площини.

39. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню куба по правильному шестикутнику?

40. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?

41.Покажіть, що існує тетраедр (тобто трикутна піраміда), висоти якого не перетинаються в одній точці.

42. Покажіть,, що кожна трикутна піраміда володіє плоским перерізом у формі ромба.

ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛЕПІПЕДИ»

1.Виміри прямокутного паралелепіпеда, виміри 9 см, 12 см і 20 см. Знайдіть:

1) площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда;

2) суму усіх ребер паралелепіпеда;

3) об’єм паралелепіпеда;

4) площу діагональних перерізів паралелепіпеда;

5) кількість різних трикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми, та ня

6) кількість різних чотирикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми та поверхні;

7) кількість способів, якими можна дістатися найкоротшим шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам паралелепіпеда від однієї вершини до протилежної вершини; 

8) кількість центрів симетрій паралелепіпеда;

9) кількість осей симетрій паралелепіпеда;

10) кількість площин симетрій паралелепіпеда;

11) площу поверхні сфери, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

12) об’єм кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;

13) кількість відрізків, з кінцями у вершинах паралелепіпеда.

14)

2.Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 12 см і 4 см.

Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

3.В основі прямого паралелепіпеда з висотою 5 см лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть:

а) площі усіх діагональних перерізів;

б) площу бічної поверхні;

в) площу повної поверхні;

г) діагональ паралелепіпеда; 

д) кут між двома мимобіжними ребрами;

е) довжини усіх діагоналей основи;

є) довжини усіх діагоналей бічної грані;

ж) кут між двома діагоналями однієї основи;

з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;

и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;

і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;

ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;

к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;

л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;

м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;

н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.

о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;

п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней

р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;

с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;

т) кут між двома мимобіжними ребрами;

у) кут між двома суміжними ребрами основи;

ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;

х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;

ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 4 см і 12 см.

Дано паралелепіпед, кожна грань якого - ромб зі сторо­ною а і кутом а. Знайдіть площу його поверхні.

АВСВА₁В_хС₁й₁ - прямий паралелепіпед, а К, Ь, М -середини ребер АВ, А₁В₁, В_гС_х відповідно. Побудуйте пе­реріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки К, Ь, М. Знайдіть площу перерізу, якщо АА_г = 3 см, а КМ = 5 см.

АВСІ)А₁В₁С₁І)₁ - похилий паралелепіпед, М - середина його ребра Д₁В₁. Побудуйте переріз паралелепіпеда пло­щиною, яка проходить через точки В, £>, М.

Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСВА₁В₁С₁В₁ площи­ною, яка проходить через середини ребер АВ, СИ, ВВ_Г Визначте вид перерізу, якщо паралелепіпед:

а) прямокутний;       б) прямий;       в) похилий.

Виміри прямокутного паралелепіпеда 3, 4 і 5. Під яким кутом нахилена діагональ паралелепіпеда до площини найменшої його грані?

Як зв'язані між собою виміри а, 6, с прямокутного пара­лелепіпеда, якщо його діагональний переріз - квадрат?

Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней 42 см², 72 см² і 84 см².

Знайдіть площі діагональних перерізів прямого паралеле­піпеда, якщо сторони його основи дорівнюють 2,3 м і 1,1 м, кут між ними 60°, а бічне ребро їм.