МНОГОГРАННИКИ ТА ЇX ЕЛЕМЕНТИ. ПРИЗМА

     

МНОГОГРАННИКИ ТА ЇX ЕЛЕМЕНТИ.

Многогранником називають тіло, поверхня якого складається із скінченої кількості плоских многокутників.

На малюнку 446 многогранник, поверхня якого складається із трапеції ABCD, AKLD і KLCB та трикутників АКВ і CLD.

Многокутники, які обмежують многогранник називають гранями, їх сторони - ребрами, а кінці ребер - вершинами многогранника.

Гранями многогранника, зображеного на малюнку 446 є многокутник ABCD, AKLD, АВК, CLD,KLCB; ребрами відрізки - АВ, ВС, CD, DA, ВК, CL, AK, KL і LD; вершинами - точки А, В, С, D, К і L.

Площа поверхні многокутника - це сума площ усіх його граней.

В курсі шкільної геометрії розглядають найпростіші многогранники: призми і піраміди.



Призми. Елементи призми. Види призм.

Призмою називають многогранник, у якого дві грані (які називаються основами), рівні і їх відповідні сторони паралельні, а інші грані - паралелограми, у кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами основ.

На малюнку 448 зображено призму, основи якої АВСD і А₁B₁С₁D₁. Тому призму називають призмою АВСDА₁B₁С₁D₁. За ознакою паралельності площин маємо властивість призми:

основи призми паралельні.

Грані призми, які не є гранями основ називають бічними гранями призми, а сторони бічних граней, які належать основам - бічними ребрами призми. На малюнку 448 паралелограми АА₁D₁D, АВВ₁А₁, ВВ₁С₁С і СС₁D₁D - бічні грані призми; відрізки АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ - бічні ребра призми.

Зрозуміло, що: всі бічні ребра призми рівні і паралельні.

Призму називають n-кутною, якщо її основою є n-кутник.

На малюнку 448 зображено чотирикутну призму.

Перпендикуляр, проведений з деякої точки однієї основи до площини іншої основи, називають висотою призми.

На малюнку 448: А₁К - висота призми.

Відрізок, що сполучає дві вершини призми, які не належать одній грані, називають діагоналлю призми.

На малюнку 448: А₁С - діагональ призми.

Призму називають прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, в протилежному випадку призму називають похилою.

На малюнку 448 зображено похилу чотирикутну призму, а на малюнку 449 - пряму трикутну призму.

Зрозуміло, що бічні грані прямої призми - прямокутники, а висота прямої призми дорівнює її бічному ребру.

Пряму призму називають правильною, якщо її основою є правильний многокутник.

На малюнку 450 зображено правильну чотирикутну призму, її основа - квадрат АВСD. У правильній призмі всі бічні грані - рівні прямокутники.

Приклад 1. Висота похилої призми дорівнює 4 см. Знайти бічне ребро призми, якщо воно утворює з площиною основи кут 60º.

Розв’язання. 1) Оскільки многокутник, що лежить в основі призми не має значення, використаємо малюнок 448. За умовою А₁К = 4 см; де А₁К - висота призми.

2) АК - проекція АА₁ на площину основи. Тому A₁AK - кут, що утворює бічне ребро із площиною основи. За умовою А₁АК = 60°.

Приклад 2. В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник із гіпотенузою 20 см і катетом 16 см. Знайти довжину діагоналі грані призми, що містить менший катет трикутника, якщо висота призми дорівнює 5 см.

Розв’язання. 1) Нехай АВСА₁В₁С₁ - трикутна призма, що задана в умові; C = 90°, АВ = 20 см; ВС = 16 см; СС₁ = 5 см.

2) В ∆АВС: 

3) Отже АС < ВС, а тому необхідно знайти діагональ бічної грані, що містить АС, тобто довжину відрізка АС₁.

4) В ∆АСС₁: 

                         

 Теcт 1. МНОГОГРАННІ КУТИ. ПРИЗМА

                                      ЧАСТИНА 1

_{Завдання 1-3 мають по п’ять варіантів відповідей, із яких тільки ОДНА відповідь є ПРАВИЛЬНОЮ. Виберіть правильну, на ваш погляд, відповідь і позначте її в бланку відповідей.}

1.     Діагональний перевіз прямої призми, основою якої є рівнобічна трапеція,- це:

А	Б	В	Г	Д
Прямокутна трапеція	Рівнобічна трапеція	Паралелограм загального виду	Прямокутник	Трапеція загального виду

2.     Визначте площу бічної поверхні похилої призми, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, периметр основи дорівнює 21 см, а периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра, 17 см (задача має зайві дані).

А	Б	В	Г	Д
85см2	105см2	210см2	170см2	Інша відповідь

3.     Скільки двогранних кутів утворюється в результаті перетину двох площин?

А	Б	В	Г	Д
1	2	4	8	Інша відповідь

4.     

                            ЧАСТИНА 2

У завданнях 6-9 наведіть розв^′язання, впишіть відповідь і перенесіть її в бланк відповідей.

 4.Основою прямокутної призми є прямокутний трикутник із катетом5 см і гіпотенузою 13см. Висота призми дорівнює 8см. Знайдіть поверхню бічної поверхні призми.

5.Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 12см, а сторони основи  дорівнюють 8см і 6см.

6. Двогранний кут дорівнює 30⁰. Точка А, що лежить на одній із граней цього кута, віддалена, від ребра цього кута на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до другої грані.

                                                   ЧАСТИНА 3

      Розв’язання до завдань 10-12 повинно містити креслення й повне пояснення, записане у вигляді послідовних логічних дій, із посиланням на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Одержану відповідь перенесіть у бланк відповідей.

7. Основою піраміди є прямокутний трикутник із гострим кутом a і гіпотенузою c. Дві бічні грані, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а третя – нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть об’єм піраміди. Обчисліть, якщо с = 4 см, α = 30⁰, β = 45⁰.

8. Основа прямого паралелепіпеда – ромб із більшою діагоналлю 4(3)^0,5 см і гострим кутом 60⁰. Знайдіть повну поверхню паралелепіпеда S_повн. У відповідь запишіть S_повн.:(3)^0,5.

9. Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть відстань від площини трикутника до центра кулі, яка дотикається до всіх його сторін, якщо радіус кулі дорівнює (5)^0,5 см
.