вівторок, 17 червня 2014 р.

Означення паралелепіпеда, його властивості.

ПАРАЛЕЛЕПІПЕД.

1. Означення паралелепіпеда, його властивості.

Паралелепіпедом називають призму, основою якої є паралелограм.
У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.
Оскільки паралелепіпед є призмою, то всі властивості призми справедливі і для паралелепіпеда.
Паралелепіпед, бічні ребра якого перпендикулярні до площин основи, називають прямим паралелепіпедом. Його бічні грані - прямокутники. На малюнку 459 зображено прямий паралелепіпед.


Якщо ж бічні ребра паралелепіпеда не перпендикулярні до площини основи, то паралелепіпед називають похилим. На малюнку 460 зображено похилий паралелепіпед.


Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називають протилежними гранями. На малюнку 460 протилежними гранями є грані АВСD і А1В1C1D1, АВВ1А1 і СDD1С1, АА1D1D і ВВ1С1С.
Розглянемо властивості паралелепіпеда.
1) Протилежні грані паралелепіпеда паралельні і рівні.
2) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і точкою перетину діляться пополам.
Приклад 1. Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють 10 см і 17 см, а одна з діагоналей основи 21 см. Більша діагональ паралелепіпеда дорівнює 29 см. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Розв’язання. 1) Нехай а = 10 см і b = 17 см - сторони основи; d1 = 21 см - діагональ основи. За властивістю діагоналей паралелепіпеда:  звідси
 Оскільки  < 21, то більшою діагоналлю паралелепіпеда є та, проекцією якої на площину основи є діагональ основи з довжиною 21 см.
2) (мал. 459) АС = 21 см; А1С = 29 см.
3) Оскільки прямий паралелепіпед є видом прямої призми, то площу бічної поверхні Sбічпрямого паралелепіпеда можна знайти за формулою Sбіч = Рl, де Р - периметр основи, l - довжина бічного ребра.
Р = 2(10 + 17) = 54 (см). Sбіч = 54  20 = 1080 (см2).
Приклад 2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 см і гострим кутом 60°. Менша діагональ паралелепіпеда дорівнює більшій діагоналі ромба. Знайти об’єм паралелепіпеда.
Розв’язання. 1) Нехай АВСDА1В1С1D1 - заданий в умові паралелепіпед; АВСD - ромб; АВ = 4 см; BAD = 60° (мал. 461).


2) Площа основи 
3) АВБ - рівносторонній; BD = АВ = 4 см.
4) В АВС: АВС = 90° , за теоремою косинусів:
5) Оскільки ВD < АС, то В1D - менша діагональ паралелепіпеда.
7) Тоді об’єм 

ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД. 
ОБ’ЄМ. ПЛОЩА ПОВЕРХНІ.

Варіант 1

1.     Маємо дротяний каркас прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 4 см, 6 см, 12 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготовлення цього каркасу?
1) 22 см; 2) 66 см; 3) 44 см; 4) 88 см.
2.     Які з наведених розмірів могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 300 см3 ?
1) 15; 4; 6;    2) 12; 6; 5;     3) 6; 5; 10;    4) 25; 6; 4;   5) 2, 10, 15;    6) 2, 5, 30.
3.     Яка з наведених рівностей неправильна?
1) 1 м3 =  1000 дм3;  1 дм3 =  1000000 см3;  6 дм3 5 см3 = 605 см3 ;
2) 1м3 =  1000000 см3;  10 дм3 =  10000 см3;  2 м3 3 дм3 = 2003 дм3;
3) 1м3 =  1000 дм3;  10 дм3 =  1000000 см3;  5 000 115 см3 = 5 м3 115 см3;
4) 1см3 =  1000 мм3;  10дм3 =  10000 см3;  12 см3 24 мм3 = 12 024 mm3,
4.  Із заліза виплавили три куби з різними ребрами: по 3 дм, по 4 дм і 5 дм. Потім їх усі розпла­вити і виплавити один куб. Яка можлива сума довжин  ребер одного  куба, якщо вона є натуральним числом? 1) 12 дм; 2) 60 см; 3) 6 дм; 4) 30 дм;  5) 120 см;  6) 96дм;  7) 84 дм;   8) 72 см;  9) 36 см;   10) 48 см;  11) 72 см.


Варіант 2

1.     Маємо дротяний каркас прямо­кутного паралелепіпеда, виміри якого 2 см, 3 см і 5 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготов­лення цього каркасу?
1) 15 см; 2) 20 см; 3) 40 см; 4) 30 см.
2.     Які з наведених трійок чисел могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 360 см3 ?
1) 12, 6, 5;  2) 9, 12, 5;    3) 15, 6, 5;    4) 8, 5, 11;  5) 2, 10, 18;    6) 1, 12, 30.
3.     Яка з наведених рівностей неправильна?
1) 1см3 =  1000 мм3;  10дм3 =  10000 см3;  82 дм3 14 мм3 = 8 200 014 мм3;
2) 1м3 =  1000 дм3;  10 дм3 =  1000000 см3;  5 м3 15 дм3 = 5 015 дм3;
3) 3 =  1000000 см3;  10 дм3 =  10000 см3;  4 дм3 8 см3 = 4 008 см3;
4) 10 м3 =  10000 дм3;  1 дм3 =  1000000 мм3;  15 см3 12 мм3 = 15 012 мм3.
4.     Яке з наведених чисел може виражати довжину дроту (у см), потрібно­го для виготовлення каркасної моделі куба, довжина ребра якого ста­новить ціле число сантиметрів?
1) 40;   2) 96;   3) 64;  4) 94. 5) 120;  6) 96;  7) 84;   8) 72;  9) 36;   10) 48;  11) 


ПРЯМОКУТНИЙ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД. 
ОБ’ЄМ. ПЛОЩА ПОВЕРХНІ.

Варіант 3


1.     Маємо дротяний каркас прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 4 см, 6 см, 10 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготовлення цього каркасу?
1) 122 см; 2) 86 см; 3) 74 см; 4) 80 см.
2.     Які з наведених розмірів могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 300 см3 ?
1) 15; 4; 6;    2) 12; 6; 5;     3) 6; 5; 10;    4) 25; 6; 4;   5) 2, 10, 15;    6) 2, 5, 30.
3.     Яка з наведених рівностей неправильна?
1) 1 м3 =  1000 дм3;  1 дм3 =  1000000 см3;  6 дм3 5 см3 = 605 см3 ;
2) 1м3 =  1000000 см3;  10 дм3 =  10000 см3;  2 м3 3 дм3 = 2003 дм3;
3) 1м3 =  1000 дм3;  10 дм3 =  1000000 см3;  5 000 115 см3 = 5 м3 115 см3;
4) 1см3 =  1000 мм3;  10дм3 =  10000 см3;  12 см3 24 мм3 = 12 024 mm3,
4.                     Із заліза виплавили три куби з різними ребрами: по 3 дм, по 4 дм і 5 дм. Потім їх усі розпла­вити і виплавити один куб. Яка можлива сума довжин  ребер одного  куба, якщо вона є натуральним числом? 1) 12 дм; 2) 60 см; 3) 6 дм; 4) 30 дм;  5) 120 см;  6) 96дм;  7) 84 дм;   8) 72 см;  9) 36 см;   10) 48 см;  11) 72 см.


Варіант 4


1.     Маємо дротяний каркас прямо­кутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 7 см і 5 см. Скільки дроту (у см) пішло на виготов­лення цього каркасу?
1) 50 см; 2) 70 см; 3) 80 см; 4) 60 см.
2.     Які з наведених трійок чисел могли б бути трьома вимірами прямокутного паралелепіпеда (у см), якщо його об'єм 360 см3 ?
1) 12, 6, 5;  2) 9, 12, 5;    3) 15, 6, 5;    4) 8, 5, 11;  5) 2, 10, 18;    6) 1, 12, 30.
3.     Яка з наведених рівностей неправильна?
1) 1см3 =  1000000 мм3;  10дм3 =  10000 см3;  82 дм3 14 мм3 = 8 200 014 мм3;
2) 1м3 =  100000 дм3;  10 дм3 =  1000000 см3;  5 м3 15 дм3 = 5 015 дм3;
3) 3 =  100000000 см3;  10 дм3 =  100000 см3;  4 дм3 8 см3 = 4 008 см3;
4) 10 м3 =  100000 дм3;  1 дм3 =  1000000000 мм3;  15 см3 12 мм3 = 15 012 мм3.
4.    Яке з наведених чисел може виражати довжину дроту (у см), потрібно­го для виготовлення каркасної моделі куба, довжина ребра якого ста­новить ціле число сантиметрів?
1) 40;   2) 96;   3) 64;  4) 94. 5) 120;  6) 96;  7) 84;   8) 72;  9) 36;   10) 48;  11) 


Об’єм призми.




Об’єм призми.

Об’єм призми V дорівнює добутку її основи на висоту:
де Sосн - площа основа призми; h - висота призми.
Приклад 1. Основою похилої призми є правильний трикутник зі стороною 6 см. Бічне ребро призми дорівнює 4 см і нахилене до площини основи під кутом 60º. Знайти об’єм призми.
Розв’язання. 1) Нехай АВСА1В1С1 - задана в умові призма; АВС - правильний; АВ = 6 см; АА1= 4 см; А1К - висота призми; A1AK - кут нахилу бічного ребра до площини основи;
A1AK = 60° (мал. 457).


2) Площа основи  де а = АВ - сторона основи.
Маємо 
Приклад 2. У прямій трикутній призмі сторони основ дорівнюють 4 см; 13 см і 15 см. Через бічне ребро призми і більшу за довжиною висоту основи проведено переріз, площа якого дорівнює 60 см2. Знайти об’єм призми.
Розв’язання. 1) Нехай АВСА1B1С1 - задана в умові призма (мал. 458); АС = 4 см; АВ = 13 см; АВ = 15 см.
2) Оскільки АС - менша сторона основи, то більшою висотою є висота ВК, що проведена до цієї сторони.
3) За формулою Герона знайдемо площу основи призми - трикутника АВС.
4) 3 іншого боку Sосн = (AC  BK)/2; маємо ВК = (2  24).4 = 12 (см).
5) Проведемо переріз через КВ і BB1За умовою SKK1B1B = 60 (см2). З іншого боку SKK1B1B = ВК  ВВ1. Маємо ВВ1 = 60/12 = 5 (см).
6) Тоді об’єм призми V = SOCH  BB1 = 24  5 = 120 (см3).
Якщо у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM на малюнку 456). Тоді об’єм призми V можна знайти за формулою:
де Sпер - площа перерізу; l - довжина бічного ребра.


Приклад 3. Дві бічні грані трикутної призми мають площі 30 см2 і 40 см2 і утворюють кут 60°. Знайти об’єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 5 см.
Розв’язання. 1) Нехай АВСА1В1С1 - задана в умові призма (мал. 456); SAA1B1B = 30 см2;SBB1C1C = 40 см2; ВВ1 = 5 см.
2) Виконавши побудови, аналогічні побудовам приклада 2 п. З цього параграфа. Матимемо: 







 БАНК ЗАДАЧ НА КУБАХ

1.Ребро куба дорівнює 2. Знайти:
1) діагональ бічної грані;
2) діагональ куба;
3) відстань між мимобіжними діагоналлю бічної грані та ребром куба;
4) відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней куба;
5) діагональ куба;
6) відстань між мимобіжними гранями куба;

ПОВЕРХНЯ ПРИЗМИ

1. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну по­верхню призми.
б) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут с. Радіус  кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює r. Визначити бічну поверхню призми.
в)Визначте площу бічної поверхні похилої призми, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, периметр основи дорівнює 21 см, а периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра, - 17 см (задача має зайві дані).
2. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну поверхню призми.
б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює H. Діаго­наль призми утворює з бічним ребром кут α. Визначити бічну поверх­ню призми.
в)У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 діагональ В1D дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом  а.
Тоді довжина бічного ребра ВВ1 обчислюється за формулою… .

3.  а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагонал­лю d. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут α, а діагональ бічної грані — кут β. Визначити бічну поверхню призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю d. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню призми.


ОБ’ЄМ ПРИЗМИ

1. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площи­ною основи кут α. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том α при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.
2. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом a при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторо­ну цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том a при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.
3. а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом α і гіпотенузою с. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з го­стрим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
4. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ та радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить сто­рону, для якої дані кути є прилеглими, утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ. Діа­гональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилег­лими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
5.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом α між діагоналями. Діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d,    яка утворює зі стороною основи кут β. Діагональ призми утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
6. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з го­стрим кутом α. Більша діагональ трапеції дорівнює d і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом α. Менша діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Мен­ша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
7. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом α. Діагоналі цієї трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з тупим кутом α. Діагоналі цієї трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діа­гональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

8. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4см  і 10 см та з бічною стороною 5см.  Бічне ребро призми дорівнює 10см.  Обчисліть повну поверхню призми.
9.   Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють a i b. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом  b. Визначити висоту паралелепіпеда.
10. Площа основи правильної чотирикутної призми 25см2, а її бічне ребро-10см.Знайти площу бічної поверхні призми.
11.Основа прямої призми-ромб зі стороною а і гострим кутом a. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут b. Визначити площу бічної поверхні призми.
12. Площина яка проходить через сторону основи правильної трикутної призми і протилежну вершину іншої основу,утворює з площиною основи кут b. Діагоналі бічних граней призми дорівнюють l ,а кут між ними - a. Визначте висоту призми.
13. Основа прямої призми - прямокутний трикутник з катетами а і b. Діагоналі бічної грані,що містить гіпотенузу,утворює з площиною основи кут b. Визначте висоту призми.
14. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 60 см2,а її бічне ребро - 10см.Знайти площу основи призми.
15. Основою прямокутної призми є прямокутник діагональ якого дорівнює а і утворює зі стороною кут а. Визначити площу бічної призми, якщо її діагональ утворює з площиною основи кут b.
16. Через сторону нижньої основи правильної трикутної призми і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз,який утворює з площиною основи кут b. Перерізом є трикутник з кутом а при вершині верхньої основи, висота призми - Н. Визначити площу перерізу.
17..У правильній чотирикутній призмі сторона основи 3(2)0,5, а бічне ребро – 8см. Знайти діагональ призми.                         











Площі повної та бічної поверхонь призми. Поради до розв’язання задач на призму

Поради до розвязання задач на призму

1. Якщо в умові задачі йдеться продіагональ бічної грані прямої призми, то памятайте, що:
Проекцією цієї діагоналі на площину основи буде відповідна сторона основи призми. Діагональ бічної грані прямої призми, відповідна їй сторона основи і бічне ребро призми, що виходить з кінця діагоналі, утворюють прямокутний трикутник;
Кутом нахилу діагоналі бічної грані до площини основи буде кут між цією діагоналлю і відповідною стороною основи призми;
Якщо задані або знайдені діагональ бічної грані призми і кут її нахилу до площини основи, або ця діагональ і відповідна їй сторона основи, то можна знайти висоту призми за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику або наслідків теореми Піфагора.
2. Якщо в умові задачі йдеться про діагональ прямої призми, то памятайте, що:
Проекцією цієї діагоналі на площину основи буде відповідна їй діагональ основи призми. При цьому більшій діагоналі основи відповідає більша діагональ призми, меншій – менша діагональ призми. Діагональ прямої призми, відповідна їй діагональ основи і бічне ребро призми, що виходить з кінця діагоналі, утворюють прямокутний трикутник;
Кутом нахилу діагоналі прямої призми до площини основи буде кут між цією діагоналлю і відповідною діагоналлю основи призми;
Якщо задані або знайдені діагональ прямої призми і кут її нахилу до площини основи, або ця діагональ і відповідна їй діагональ основи основи, то можна знайти висоту призми за допомогою тригонометричних співвідношень у прямокутному трикутнику або наслідків теореми Піфагора.
3. Якщо в умові задачі йдеться про переріз прямої призми площиною, то памятайте, що:
- Якщо січна площина проходить, наприклад, через сторону основи прямої трикутної призми і протилежну їй вершину призми, що належить іншій основі, то перерізом буде трикутник, ортогональною проекцією якого на площину основи буде трикутник, що лежить в основі призми. Якщо відома площа такого перерізу і кут нахилу площини перерізу до площини основи, то можна знайти площу основи призми. Площа основи в такому випадку буде дорівнювати площі перерізу, помноженій на косинус кута між площинами перерізу й основи. Відповідно площа такого перерізу буде дорівнювати площі основи, поділеній на косинус кута між площинами перерізу й основи.
Щоб знайти кут між площиною перерізу і площиною основи, треба в одній із цих площин провести перпендикуляр до спільної прямої площин і з основи перпендикуляра, в другій площині провести перпендикуляр до спільної прямої площин.
У випадку правильної трикутної призми кут нахилу площини перерізу, що проходить через сторону основи прямої трикутної призми і протилежну їй вершину призми до площини основи, буде кут між відповідними висотами перерізу й основи призми.




Площі повної та бічної поверхонь призми.

Площею повної поверхні призми називають сум площ всіх її граней, а площею бічної поверхні призми - суму площ її бічних граней.
Площа Sповн повної поверхні призми виражається через площу Sбіч її бічної поверхні і площуSосн основ призми формулою
Теорема про площу бічної поверхні прямої призми. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми, тобто на довжину її бічного ребра.
Приклад 1. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, менша основа якої дорівнює 3 см, бічна сторона 4 см, а кут при основі 60°. Знайти площу бічної поверхні призми, якщо її висота дорівнює більшій основі трапеції.
Розв’язання. 1) Нехай АВСDА1В1sub>С1D1 - чотирикутна призма, що задана в умові; DС = 3 см, АD = 4 см, DAB = 60° (мал. 454).


2) Виконаємо планіметричний малюнок трапеції АВСD, що лежить в основі призми (мал. 455), та проведемо в ній висоти DК і СL.


4) КDСL - прямокутник, тому КL = DС = 3 см.
5) ВАК СВL (за катетом і гіпотенузою), тому АК = LВ; LВ = 2 см.
6) Тоді АВ = 2 + 3 + 2 = 7 (см).
7) Висота призми ВВ1 за умовою дорівнює більшій основі трапеції. Отже, ВВ1 = 7 см.
Нехай у похилій призмі проведено переріз, перпендикулярний до бічних ребер, що перетинає всі бічні ребра (переріз KLM на малюнку 456). Тоді бічну поверхню похилої призми можна знайти за формулою:
де Pпер - периметр перерізу; l - довжина бічного ребра.


Приклад 2. У похилій трикутній призмі дві бічні грані взаємно перпендикулярні. їх спільне бічне ребро знаходиться на відстанях 3 см і 4 см від двох інших бічних ребер. Знайти довжину бічного ребра призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 120 см2.
Розв’язання. 1) Нехай АВСА1В1С1 - похила призма, у якої КL — відстань між паралельними ребрами ВВ1 і АА1, бічні грані АВВ1А1 і ВВ1С1С взаємно перпендикулярні (мал. 456).
2) Виберемо на ребрі ВВ1 деяку точку L та проведемо КL  ВВ1 та LМ  ВВ1; LМ - відстань між паралельними ребрами ВВ1 і СС1, за умовою КL = 3 см; LМ = 4 см.
3) Оскільки КL  ВВ1 і LМ  ВВ1, то КLМ  ВВ1 (за ознакою перпендикулярності прямої і площини). Тому КLМ - кут між бічними гранями АВВ1А1 і ВВ1С1С. За умовою КLМ=90°.
5) Переріз КLМ перпендикулярний до бічних ребер призми.
 тоді бічне ребро 







БАНК ЗАДАЧ НА КУБАХ

1.Ребро куба дорівнює 2. Знайти:
1) діагональ бічної грані;
2) діагональ куба;
3) відстань між мимобіжними діагоналлю бічної грані та ребром куба;
4) відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней куба;
5) діагональ куба;
6) відстань між мимобіжними гранями куба;

ПОВЕРХНЯ ПРИЗМИ

1. а) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну по­верхню призми.
б) У правильній трикутній призмі діагональ бічної грані утворює з бічним ребром кут с. Радіус  кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює r. Визначити бічну поверхню призми.
в)Визначте площу бічної поверхні похилої призми, у якої бічне ребро дорівнює 10 см, периметр основи дорівнює 21 см, а периметр перерізу, перпендикулярного до бічного ребра, - 17 см (задача має зайві дані).
2. а) Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити бічну поверхню призми.
б) У правильній чотирикутній призмі висота дорівнює H. Діаго­наль призми утворює з бічним ребром кут α. Визначити бічну поверх­ню призми.
в)У прямокутному паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 діагональ В1D дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом  а.
Тоді довжина бічного ребра ВВ1 обчислюється за формулою… .

3.  а) В основі прямої призми лежить ромб з більшою діагонал­лю d. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут α, а діагональ бічної грані — кут β. Визначити бічну поверхню призми.
б) В основі прямої призми лежить ромб з тупим кутом β і меншою діагоналлю d. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом α. Визначити бічну поверхню призми.


ОБ’ЄМ ПРИЗМИ

1. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом а при вершині і радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, утворює з площи­ною основи кут α. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том α при основі і радіусом вписаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.
2. а) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з кутом a при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторо­ну цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з ку­том a при основі. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи призми кут β. Визначити об'єм призми.
3. а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом α і гіпотенузою с. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутний трикутник з го­стрим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
4. а) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ та радіусом описаного кола r. Діагональ бічної грані, що містить сто­рону, для якої дані кути є прилеглими, утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить трикутник з кутами β і γ. Діа­гональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилег­лими, дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
5.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник з кутом α між діагоналями. Діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутник з діагоналлю d,    яка утворює зі стороною основи кут β. Діагональ призми утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
6. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з го­стрим кутом α. Більша діагональ трапеції дорівнює d і є бісектрисою гострого кута. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з тупим кутом α. Менша діагональ трапеції є бісектрисою тупого кута. Мен­ша діагональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут α. Визначити об'єм призми.
7. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною с і гострим кутом α. Діагоналі цієї трапеції взаємно перпендикулярні. Діагональ призми утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.
б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з тупим кутом α. Діагоналі цієї трапеції перпендикулярні до бічних сторін. Діа­гональ призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут β. Визначити об'єм призми.

8. В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4см  і 10 см та з бічною стороною 5см.  Бічне ребро призми дорівнює 10см.  Обчисліть повну поверхню призми.
9.   Сторони основи прямокутного паралелепіпеда дорівнюють a i b. Діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом  b. Визначити висоту паралелепіпеда.
10. Площа основи правильної чотирикутної призми 25см2, а її бічне ребро-10см.Знайти площу бічної поверхні призми.
11.Основа прямої призми-ромб зі стороною а і гострим кутом a. Більша діагональ призми утворює з площиною основи кут b. Визначити площу бічної поверхні призми.
12. Площина яка проходить через сторону основи правильної трикутної призми і протилежну вершину іншої основу,утворює з площиною основи кут b. Діагоналі бічних граней призми дорівнюють l ,а кут між ними - a. Визначте висоту призми.
13. Основа прямої призми - прямокутний трикутник з катетами а і b. Діагоналі бічної грані,що містить гіпотенузу,утворює з площиною основи кут b. Визначте висоту призми.
14. Площа бічної поверхні правильної чотирикутної призми дорівнює 60 см2,а її бічне ребро - 10см.Знайти площу основи призми.
15. Основою прямокутної призми є прямокутник діагональ якого дорівнює а і утворює зі стороною кут а. Визначити площу бічної призми, якщо її діагональ утворює з площиною основи кут b.
16. Через сторону нижньої основи правильної трикутної призми і протилежну вершину верхньої основи проведено переріз,який утворює з площиною основи кут b. Перерізом є трикутник з кутом а при вершині верхньої основи, висота призми - Н. Визначити площу перерізу.
17. У правильній чотирикутній призмі сторона основи 3(2)0,5, а бічне ребро – 8см. Знайти діагональ призми.                         



Банк задач з теми «Паралелепіпеди. Куб».

1.Наведіть приклади тіл, які мають форму паралелепіпеда, з навколишнього середовища.
2.Чи вірно, що довільні три сусідні вершини куба задають площину грані куба?
3.Чи вірно, що два довільні бічних ребра куба задають грань куба?
4.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба і паралельне до нього  ребро верхньої основи куба задають грань куба?
5.Чи вірно, що грань нижньої основи куба являється перпендикулярною до бічних граней куба?
6.Чи вірно, що дві бічні ребра куба утворюють перпендикулярні грані куба?
7.Чи вірно, що сусідні вершини куба – це вершини, які являються кінцями одного ребра куба?
8.Чи вірно, що усі бічні ребра куба являються паралельними?
9.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються паралельним до усіх ребер верхньої основи куба?
10.Чи вірно, що ребро нижньої основи куба являються мимобіжним до деяких ребер верхньої основи куба?
11.Чи вірно, що деякі бічні ребра куба являються перпендикулярними?
12. Три грані паралелепіпеда - прямокутники. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед прямокутний?
13.Три грані паралелепіпеда - квадрати. Чи випливає з цього, що даний паралелепіпед куб?
14. Три грані многогранника - трикутника. Чи випливає з цього, що це призма?
15. Чи можна, знаючи положення п’яти будь-яких вершин куба, однозначно можна визначити положення інших трьох вершин куба у просторі?
16. Чи можна, знаючи положення довільних чотирьох вершин  куба, однозначно можна визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?
17. Чи можна, знаючи чотири вершини куба, що являються кінцями трьох вимірів: ширини, довжини, висоти куба, які виходять з однієї точки, то можна однозначно визначити положення інших чотирьох вершин куба у просторі?
18. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до ребер куба?
19. Скільки відрізків, що задані на поверхні куба, належать до діагоналей граней куба?
20. Скільки відрізків, кінці яких лежать на поверхні  куба належать до діагоналей куба?
21. Скільки різних площин, що утворюються на множині восьми вершин куба (кожна з цих площин містить хоч а б три вершини  куба)?
22. Скільки діагональних перерізів має куб?
23. Скільки січних площин(рівносторонні трикутні перерізи куба), кожна з яких містить в собі тільки три вершини куба?
24. Чи можна отримати в перерізи куба площиною: а)правильний трикутник; а)правильний чотирикутник; а)правильний п’ятикутник; а)правильний шестикутник?
25. Скільки різних (рівних) правильних тетраедрів можна побудувати на восьми вершинах куба?
26. Скільки різних (рівних) чотирикутних пірамід можна побудувати на восьми вершинах куба?
27. Яке відношення між числом граней, числом вершин, та числом ребер має місце для многогранника?
28. Чи можна провести площину, яка перетинає тригранний кут куба, так, щоб у перерізі утворився тупокутний трикутник?
29. Чи завжди  можна провести площину, яка перетинає чотиригранний кут, так, щоб у перерізі утворився паралелограм? 
30. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?
31. Чи існує многогранник з п’ятьма ребрами?
32. Чи існує многогранник з шістьма ребрами?
33. Чи існує многогранник з сімома ребрами?
34. Чи може призма мати вісім ребер?
35. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, що проходить через центр куба перпендикулярно його діагоналі?
36. Яка фігура утвориться в перетині поверхні куба площиною, яка визначається кінцями трійки ребер куба, що виходять із однієї вершини?
37. Чи існує многогранник  з непарним числом граней, кожна з яких містить непарне число сторін?

37. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню правильного тетраедра по квадрату?
38. Який многокутник утворюється при перетині поверхні правильного тетраедра площиною, паралельною двом його протилежним ребрах? Чи вірно, що периметр цього перерізу не залежить від вибору такої січної площини.
39. Як треба провести площину, щоб вона перетинала поверхню куба по правильному шестикутнику?
40. Чи можна куб перетнути площиною так, щоб отримати в перерізі: а) прямокутний або тупокутний трикутник; б) квадрат; в) прямокутник; г) ромб, відмінний від квадрата; д) паралелограм, відмінний від ромба; е) трапецію; є) правильний п'ятикутник; ж) який-небудь семикутник?
41.Покажіть, що існує тетраедр (тобто трикутна піраміда), висоти якого не перетинаються в одній точці.
42. Покажіть,, що кожна трикутна піраміда володіє плоским перерізом у формі ромба.

ЗАДАЧІ НА ОБЧИСЛЕННЯ З ТЕМИ «ПАРАЛЕЛЕПІПЕДИ»

1.Виміри прямокутного паралелепіпеда, виміри 9 см, 12 см і 20 см. Знайдіть:
1) площу повної поверхні прямокутного паралелепіпеда;
2) суму усіх ребер паралелепіпеда;
3) об’єм паралелепіпеда;
4) площу діагональних перерізів паралелепіпеда;
5) кількість різних трикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми, та ня
6) кількість різних чотирикутних пірамід, з вершинами паралелепіпеда та їх об’єми та поверхні;
7) кількість способів, якими можна дістатися найкоротшим шляхом, якщо дозволено рухатися тільки по ребрам паралелепіпеда від однієї вершини до протилежної вершини; 
8) кількість центрів симетрій паралелепіпеда;
9) кількість осей симетрій паралелепіпеда;
10) кількість площин симетрій паралелепіпеда;
11) площу поверхні сфери, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;
12) об’єм кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда;
13) кількість відрізків, з кінцями у вершинах паралелепіпеда.
14)
2.Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 12 см і 4 см.
Знайдіть:
а) площі усіх діагональних перерізів;
б) площу бічної поверхні;
в) площу повної поверхні;
г) діагональ паралелепіпеда; 
д) кут між двома мимобіжними ребрами;
е) довжини усіх діагоналей основи;
є) довжини усіх діагоналей бічної грані;
ж) кут між двома діагоналями однієї основи;
з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;
и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;
і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;
ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;
к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;
л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;
м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;
н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.
о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;
п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней
р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;
с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;
т) кут між двома мимобіжними ребрами;
у) кут між двома суміжними ребрами основи;
ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;
х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;
ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.

3.В основі прямого паралелепіпеда з висотою 5 см лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Знайдіть:
а) площі усіх діагональних перерізів;
б) площу бічної поверхні;
в) площу повної поверхні;
г) діагональ паралелепіпеда; 
д) кут між двома мимобіжними ребрами;
е) довжини усіх діагоналей основи;
є) довжини усіх діагоналей бічної грані;
ж) кут між двома діагоналями однієї основи;
з) кут між двома діагоналями однієї бічної  грані;
и) кут між двома діагоналями двох  бічних граней;
і) кут між бічним ребром і діагоналлю однієї бічної грані;
ї) кут між двома мимобіжними діагоналями двох суміжних граней;
к) кут між двома мимобіжними діагоналями двох несуміжних граней;
л) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і площиною основи;
м) кут між діагоналлю паралелепіпеда і бічним ребром;
н) кут між діагоналлю  паралелепіпеда і мимобіжною діагоналлю грані.
о) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами основи;
п) відстань між двома мимобіжними ребрами несуміжних граней
р) найкоротшу відстань між двома паралельними ребрами несуміжних граней;
с) найкоротша відстань між двома непаралельними і немимобіжними ребрами;
т) кут між двома мимобіжними ребрами;
у) кут між двома суміжними ребрами основи;
ф) найкоротшу відстань між діагоналлю паралелепіпеда і мимобіжною до неї діагоналлю основи;
х) найкоротшу відстань  між мимобіжними діагоналями несуміжних(паралельних) граней;
ц) найкоротшу відстань між двома мимобіжними діагоналями суміжних (перпендикулярних) граней.



Знайдіть діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого 3 см, 4 см і 12 см.
Дано паралелепіпед, кожна грань якого - ромб зі сторо­ною а і кутом а. Знайдіть площу його поверхні.

АВСВА1ВхС1й1 - прямий паралелепіпед, а К, Ь, М -середини ребер АВ, А1В1, ВгСх відповідно. Побудуйте пе­реріз паралелепіпеда площиною, яка проходить через точки К, Ь, М. Знайдіть площу перерізу, якщо ААг = 3 см, а КМ = 5 см.
АВСІ)А1В1С1І)1 - похилий паралелепіпед, М - середина його ребра Д1В1. Побудуйте переріз паралелепіпеда пло­щиною, яка проходить через точки В, £>, М.
Побудуйте переріз паралелепіпеда АВСВА1В1С1В1 площи­ною, яка проходить через середини ребер АВ, СИ, ВВГ Визначте вид перерізу, якщо паралелепіпед:
а) прямокутний;       б) прямий;       в) похилий.
Виміри прямокутного паралелепіпеда 3, 4 і 5. Під яким кутом нахилена діагональ паралелепіпеда до площини найменшої його грані?
Як зв'язані між собою виміри а, 6, с прямокутного пара­лелепіпеда, якщо його діагональний переріз - квадрат?
Знайдіть виміри прямокутного паралелепіпеда, якщо площі трьох його граней 42 см2, 72 см2 і 84 см2.

Знайдіть площі діагональних перерізів прямого паралеле­піпеда, якщо сторони його основи дорівнюють 2,3 м і 1,1 м, кут між ними 60°, а бічне ребро їм.