Задачі на комбінації тіл у просторі

Задачі для геометричного  тренінгу

КОМБІНАЦІЯ КОНУСА І КУЛІ

1. а) Навколо конуса, осьовим перерізом якого є гострокутний рівнобедрений трикутник, описано кулю радіуса R. Радіус кулі, про­ведений до точки кола основи конуса, утворює з площиною цієї основи кут w. Визначити об'єм конуса.

б) Навколо конуса описано кулю. Твірна конуса утворює з пло­щиною основи кут w. Висота конуса дорівнює H. Знайти об'єм кулі.

2.  а) У конус вписано кулю радіуса r. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм конуса.

б) У конус вписано кулю. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом w. Висота конуса дорівнює H. Визначити об'єм кулі.

 КОМБІНАЦІЯ ПІРАМІДИ І КОНУСА

1. а ) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом w при вершині. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площи­ною основи кут v. Визначити бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.

б) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічною сторо­ною b і кутом w при основі. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють v. Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в дану піраміду.

2.  а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього гострим кутом w. Усі бічні ребра піраміди утво­рюють з площиною основи кут v. Визначити об'єм конуса, описаного навколо даної піраміди.

б) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і го­стрим кутом w. Усі двогранні куги при основі піраміди дорівнюють v. Визначити об'єм конуса, вписаного в дану піраміду.

3.  а) В основі піраміди лежить гострокутний трикутник. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут a. Відстань від основи висоти піраміди до однієї із сторін основи дорівнює d, а ку­ти, прилеглі до цієї сторони, дорівнюють w і v. Визначити бічну по­верхню конуса, описаного навколо даної піраміди.

б) У трикутній піраміді всі двогранні кути при основі дорівнюють a. Відстань від основи висоти піраміди до вершини одного із кутів основи дорівнює d, а два інші кути основи дорівнюють w і v. Визначити бічну по­верхню конуса, вписаного в дану піраміду.

4.  а) В основі піраміди лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут а. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом w. Відрізок, що сполучає середину більшої сторони прямокутника з основою висоти піраміди, дорівнює d. Визначити об'єм конуса, описаного навколо даної піраміди.

б) В основі піраміди лежить ромб з гострим кутом а. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють w. Відрізок, що сполучає основу ви­соти піраміди з серединою сторони ромба, дорівнює b. Визначити об'єм конуса, вписаного в дану піраміду.

5. а) Основою піраміди є рівнобічна трапеція з гострим кутом а. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Усі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут w. Відстань від основи ви­соти піраміди до бічної сторони трапеції дорівнює b. Визначити бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.

б) У піраміду, основою якої є рівнобічна трапеція з тупим кутом w, вписано конус. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють v. Відстань від основи висоти піраміди до вершини даного кута тра­пеції дорівнює а. Визначити бічну поверхню конуса.

КОМБІНАЦІЯ ПІРАМІДИ І КУЛІ

 

1.  а) Навколо правильної чотирикутної піраміди описано кулю. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут w. Висота піраміди дорівнює H. Визначити об'єм кулі.

б) Навколо правильної трикутної піраміди описано кулю. Висота піраміди дорівнює H і утворює з бічним ребром кут у. Визначити об'єм кулі.

2. а) Навколо правильної чотирикутної піраміди описано кулю радіуса R. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут w. Визначити об'єм піраміди.

б) Навколо правильної трикутної піраміди описано кулю радіуса R. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут w. Визначи­ти об'єм піраміди.

3. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з ку­том w при вершині. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом v. Визначити об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.

б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під ку­том v. Визначити об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.

4. а) У правильну трикутну піраміду вписано кулю радіуса r. Бічна грань піраміди нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм піраміди.

б) У правильну трикутну піраміду вписано кулю. Бічна грань піраміди нахилена до площини основи під кутом а. Висота піраміди дорівнює H. Визначити об'єм кулі.

5.  а) У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю радіуса R. Двогранний кут при основі піраміди дорівнює а. Визначити повну поверхню піраміди.

б) У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу. Двогранний кут при основі піраміди дорівнює w. Висота піраміди дорівнює H. Визначити поверхню сфери.     

6. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з ку­том а при основі. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють w. Визначити об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює r.

б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють w. Виз­начити об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює r.

КОМБІНАЦІЯ ПРИЗМИ І СФЕРИ

1. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано сферу. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з її бічним ребром кут w. Визначити поверхню сфери, якщо бічне ребро призми дорівнює а.

б) Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з її бічним ребром кут w. Визначити об'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює b.

2. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут w. Визначити бічну поверхню призми.

б) Навколо  правильної трикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут w. Визначити об'єм призми.

КОМБІНАЦІЯ ПРИЗМИ І ЦИЛІНДРА

1. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом w при вершині. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом а. Визначити бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми.

б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом w. Визначити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.

2.  а) Основою призми є трикутник зі стороною с та прилеглими до неї кутами v і w. Діагональ бічної грані, що містить цю сторону трикутника, нахилена до площини основи під кутом a. Визначити об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.

б) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить прилеглий до цього кута катет, дорівнює d і нахилеиа до площини основи під кутом w. Визна­чити об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.

3.  а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом а. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм циліндра, вписаного в дану призму.

б) Основою прямої призми є трикутник з кутами w і v. Діагональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом a. Визначити об'єм циліндра, вписаного в дану призму.

4.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут w. Діагональ бічної грані призми, що містить меншу сторону прямокутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут а. Визначити бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.

б) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом а. Діагональ бічної гранг призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут w. Визначити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.

5.  а) Основою прямої призми є рівнобічна трапеція з гострим кутом а. Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює d і утворює з площиною основи кут w. Визначити об'єм циліндра, описаного нав­коло даної призми.

б) У пряму призму, основою якої є рівнобічна трапеція з тупим кутом w, вписано циліндр. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм циліндра.