четвер, 23 квітня 2015 р.

Підручники для класів з поглибленим вивченням математики



середа, 22 квітня 2015 р.

Задачі стереометрії. Повторення та узагальтнення.







 Малюнок в МАрхИ |  241 фотографія

Тест 1. Об’єми та поверхні тіл

Тест 7.  Об’єми та поверхні тіл
Закінчити правильно речення:
1.Об’єми двох кубів відносяться, як …
а) квадрати ребер; б) довжини ребер; в) двогранні кути; г) куби ребер; д) інша відповідь.
2.Поверхні двох кубів відносяться, як …
А) квадрати ребер; Б) довжини ребер; В) лінійні кути; Г) куби ребер; д) інша відповідь.
3.Об’єми двох правильних тетраедрів відносяться, як …
а) квадрати ребер; б) довжини ребер; в) двогранні кути; г) куби ребер; д) інша відповідь.
4.Поверхні двох правильних тетраедрів відносяться, як …
а) квадрати ребер; б) довжини ребер; в) двогранні кути; г) куби ребер; д) інша відповідь.
5.Об'єми двох куль відносяться, як ...
а) квадрати радіусів; б) довжини радіусів; в) довжини діаметрів; г) куби радіусів; д) інша відповідь.
6.Поверхні двох куль відносяться, як ...
а) квадрати радіусів; б) довжини радіусів; в) довжини діаметрів; г) куби радіусів; д) інша відповідь.
7.Перерізом куба з площиною можуть бути …
а) будь-які n-кутники; б) будь-які правильні n-кутники; в) будь-які гострокутні трикутники і чотирикутники; г) 5-кутники і 6-кутники з паралельними сторонами; д) інша відповідь.
8.Перерізом правильного тетраедра з площиною можуть бути …
а) будь-які n-кутники; б) будь-які правильні n-кутники; в) будь-які гострокутні трикутники і чотирикутники; г) 5-кутники і 6-кутники з не паралельними сторонами; д) інша відповідь.
9.Перерізом сфери з площиною можуть бути …
а) будь-які еліпси; б) будь-які кола; в) будь-які круги; г) параболи та гіперболи; д) інша відповідь.
10.Перерізом кулі з площиною можуть бути …
а) будь-які еліпси; б) будь-які кола; в) будь-які круги; г) параболи та гіперболи; д) інша відповідь.
11.У трикутну піраміду можна вписати …
а) кулю; б) квадрат; в) будь-які ромби; г) куб; д) інша відповідь.
12.Навколо трикутної піраміди можна описати …
а) кулю; б) паралелепіпед; в) ромбоїд; г) куб; д) інша відповідь.
13.Навколо прямої трикутної призми можна описати …
а) сферу; б) паралелепіпед; в) ромбоїд; г) куб; д) інша відповідь.
14.Умову прямої теореми про дотичну площину до кулі записуємо так ...  
а) радіус кулі є перпендикуляром до дотичної площини; б) радіус кулі є похилою до дотичної площини; в) радіус кулі є проекцією до дотичної площини; г) інша відповідь.
15.Точка М лежить на дотичній до кулі площині і від­далена від центра на віддаль МО = 17, радіус кулі дорівнює 15. Відстань точки М від точки дотику А дорів­нює ...
а) 17; б) 15; в) 2; г) інша відповідь.
16.У кулю вписано куб, а в куб кулю. Якщо через центр кулі провести площину, перпендикулярно до ребра куба, то схематичний рисунок перерізу має вигляд ...
а) квадрат описаний і вписаний; б) трикутник описаний і вписаний; в) чотирикутник описаний і вписаний; г) інша відповідь.
17.Центр кулі, вписаної в правильну трикутну призмулежить на ...
а) прямій, що є віссю симетрії основи призми; б) будь-якому трикутнику, що паралельний основам; в) перетині діагоналей вписаного в кулю чотирикутника; д) інша відповідь.
18.Якщо радіус кулі дорівнює r, то висота призми дорівнює …  
а) r;    б) 0,5r;    в) 2r;    г) 1,5r;  д) інша відповідь.
19.Висота трикутника, який лежить в основі правильного тетраедра з ребром а, дорівнює ...
а) 30,5а;    б) 30,5а/2;    в) 2а;    г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.
20.Висота правильної  трикутної призми з усіма рівними ребрами а дорівнює ...
а) 30,5а;    б) 30,5а/2;    в) 2а;    г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.
21.Висота правильної  трикутної піраміди  з усіма рівними ребрами а дорівнює ...
а) 30,5а;    б) 30,5а/2;    в) 2а;    г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.
22.Площа   основи   правильної  трикутної призми з усіма рівними ребрами а дорівнює ...  
а) 30,5а2;    б) 30,5а2/4;    в) 2а2/3;     г) 1,5а2/4;  д) інша відповідь.
23.Об'єм правильної  трикутної призми  з усіма рівними ребрами а дорівнює ... 
а) 30,5а3;    б) 30,5а3/4;    в) 2а3/3;     г) 1,5а3/4;  д) інша відповідь.
24.Об'єм правильної  трикутної піраміди з усі рівними ребрами а дорівнює ... 
а) 30,5а3;    б) 30,5а3/4;    в) 2а3/3;     г) 1,5а3/4;  д) інша відповідь.
25.Півкруг радіуса R згорнуто в конус, об'єм якого буде дорівнювати ...
а) 30,5R3p;    б) 30,5pR3/4;    в) 2pR3/3;     г) 1,5pR3/4;  д) інша відповідь.
26.Геометричним місцем точок простору,  рівновіддаленних від однієї точки, є ...
а) куля; б) куб; в) двогранні кути; г) відрізок; д) інша відповідь.
27.Об'єм  кулі дорівнює . ..
а) 30,5R3p;    б) 30,5pR3/4;    в) 2pR3/3;     г) 4pR3/3;  д) інша відповідь.
28.Поверхня кулі дорівнює . ..
а) 4R2p;    б) 30,5pR2/4;    в) 2pR2/3;     г) 4pR2/3;  д) інша відповідь.
29.Бічна поверхня конуса дорівнює . ..
а) lRp;    б) plR2/4;    в) 2lpR2/3;     г) 4lpR2/3;  д) інша відповідь.
30.Об'єм  конуса дорівнює . ..
а) 30,5R2pН;    б) 30,5pR2Н/3;    в) 2pНR2/3;     г) pНR2/3;  д) інша відповідь.
31.Поверхня конуса дорівнює . ..
а) 4R2p;    б) 30,5pR2/4;    в) 2pR2/3;     г) 4pR2/3;  д) інша відповідь.
32.Бічна поверхня циліндра  дорівнює . ..
а) НRp;    б) pНR2/4;    в) 2НpR2/3;     г) 4НpR2/3;  д) інша відповідь.
33.Радіус кулі, вписаної в правильний тетраедр з ребром а,  дорівнює ...
а) 30,5а;    б) 30,5а/4;    в) 2а/3;     г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.
34.Радіус кулі, описаної навколо правильного тетраедра з ребром а,  дорівнює ...
а) 30,5а;    б) 30,5а/4;    в) 2а/3;     г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.
33.Радіус кулі, вписаної в куб з ребром а,  дорівнює ...
а) 30,5а;    б) 30,5а/4;    в) 2а/3;     г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.
34.Радіус кулі, описаної навколо куба з ребром а,  дорівнює ...
а) 30,5а/2;    б) 30,5а/4;    в) 2а/3;     г) 1,5а/4;  д) інша відповідь.


Задачі на призмах

1.    Основою прямокутної призми є прямокутний трикутник із катетом 5 см і гіпотенузою 13 см. Висота призми дорівнює 8 см. Знайдіть поверхню бічної поверхні призми.
2.    Знайдіть площу діагонального перерізу прямокутного паралелепіпеда, якщо його висота дорівнює 12 см, а сторони основи - 8 см і 6 см.
3.     Двогранний кут дорівнює 30о. Точка А, що лежить на одній із граней цього кута, віддалена, від ребра цього кута на 12 см. Знайдіть відстань від точки А до другої грані. 

      Розв’язання до завдань 10-12 повинно містити креслення й повне пояснення, записане у вигляді послідовних логічних дій, із посиланням на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження. Одержану відповідь перенесіть у бланк відповідей.
10. Основою піраміди є прямокутний трикутник із гострим кутом a і гіпотенузою c. Дві бічні грані, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а третя – нахилена до площини основи під кутом β. Знайдіть об’єм піраміди. Обчисліть, якщо с = 4 см, α = 30о, β = 45о.
11. Основа прямого паралелепіпеда – ромб із більшою діагоналлю 4(3)0,5 см і гострим кутом 60о. Знайдіть повну поверхню паралелепіпеда Sповн. У відповідь запишіть Sповн.:(3)0,5.
12. Сторони  трикутника  дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Знайдіть відстань від площини трикутника до центра кулі, яка дотикається до всіх його сторін, якщо радіус кулі дорівнює (5)0,5 см.

Задачі на комбінації тіл у просторі

Задачі для геометричного  тренінгу

КОМБІНАЦІЯ КОНУСА І КУЛІ


1. а) Навколо конуса, осьовим перерізом якого є гострокутний рівнобедрений трикутник, описано кулю радіуса R. Радіус кулі, про­ведений до точки кола основи конуса, утворює з площиною цієї основи кут w. Визначити об'єм конуса.
б) Навколо конуса описано кулю. Твірна конуса утворює з пло­щиною основи кут w. Висота конуса дорівнює H. Знайти об'єм кулі.
2.  а) У конус вписано кулю радіуса r. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм конуса.
б) У конус вписано кулю. Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом w. Висота конуса дорівнює H. Визначити об'єм кулі.


 КОМБІНАЦІЯ ПІРАМІДИ І КОНУСА

1. а ) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою а і кутом w при вершині. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площи­ною основи кут v. Визначити бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.
б) Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з бічною сторо­ною b і кутом w при основі. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють v. Визначити бічну поверхню конуса, вписаного в дану піраміду.
2.  а) Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетом а і прилеглим до нього гострим кутом w. Усі бічні ребра піраміди утво­рюють з площиною основи кут v. Визначити об'єм конуса, описаного навколо даної піраміди.
б) Основою піраміди є прямокутний трикутник з гіпотенузою с і го­стрим кутом w. Усі двогранні куги при основі піраміди дорівнюють v. Визначити об'єм конуса, вписаного в дану піраміду.
3.  а) В основі піраміди лежить гострокутний трикутник. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут a. Відстань від основи висоти піраміди до однієї із сторін основи дорівнює d, а ку­ти, прилеглі до цієї сторони, дорівнюють w і v. Визначити бічну по­верхню конуса, описаного навколо даної піраміди.
б) У трикутній піраміді всі двогранні кути при основі дорівнюють a. Відстань від основи висоти піраміди до вершини одного із кутів основи дорівнює d, а два інші кути основи дорівнюють w і v. Визначити бічну по­верхню конуса, вписаного в дану піраміду.
4.  а) В основі піраміди лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут а. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом w. Відрізок, що сполучає середину більшої сторони прямокутника з основою висоти піраміди, дорівнює d. Визначити об'єм конуса, описаного навколо даної піраміди.
б) В основі піраміди лежить ромб з гострим кутом а. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють w. Відрізок, що сполучає основу ви­соти піраміди з серединою сторони ромба, дорівнює b. Визначити об'єм конуса, вписаного в дану піраміду.
5. а) Основою піраміди є рівнобічна трапеція з гострим кутом а. Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Усі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут w. Відстань від основи ви­соти піраміди до бічної сторони трапеції дорівнює b. Визначити бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.
б) У піраміду, основою якої є рівнобічна трапеція з тупим кутом w, вписано конус. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють v. Відстань від основи висоти піраміди до вершини даного кута тра­пеції дорівнює а. Визначити бічну поверхню конуса.

КОМБІНАЦІЯ ПІРАМІДИ І КУЛІ

 
1.  а) Навколо правильної чотирикутної піраміди описано кулю. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут w. Висота піраміди дорівнює H. Визначити об'єм кулі.
б) Навколо правильної трикутної піраміди описано кулю. Висота піраміди дорівнює H і утворює з бічним ребром кут у. Визначити об'єм кулі.
2. а) Навколо правильної чотирикутної піраміди описано кулю радіуса R. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут w. Визначити об'єм піраміди.
б) Навколо правильної трикутної піраміди описано кулю радіуса R. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут w. Визначи­ти об'єм піраміди.
3. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з ку­том w при вершині. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом v. Визначити об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під ку­том v. Визначити об'єм піраміди, якщо радіус описаної навколо неї кулі дорівнює R.
4. а) У правильну трикутну піраміду вписано кулю радіуса r. Бічна грань піраміди нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм піраміди.
б) У правильну трикутну піраміду вписано кулю. Бічна грань піраміди нахилена до площини основи під кутом а. Висота піраміди дорівнює H. Визначити об'єм кулі.
5.  а) У правильну чотирикутну піраміду вписано кулю радіуса R. Двогранний кут при основі піраміди дорівнює а. Визначити повну поверхню піраміди.
б) У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу. Двогранний кут при основі піраміди дорівнює w. Висота піраміди дорівнює H. Визначити поверхню сфери.     
6. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з ку­том а при основі. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють w. Визначити об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює r.
б) В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з гострим кутом а. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють w. Виз­начити об'єм піраміди, якщо радіус вписаної кулі дорівнює r.


КОМБІНАЦІЯ ПРИЗМИ І СФЕРИ


1. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано сферу. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з її бічним ребром кут w. Визначити поверхню сфери, якщо бічне ребро призми дорівнює а.
б) Навколо правильної трикутної призми описано кулю. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з її бічним ребром кут w. Визначити об'єм кулі, якщо бічне ребро призми дорівнює b.
2. а) Навколо правильної чотирикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут w. Визначити бічну поверхню призми.
б) Навколо  правильної трикутної призми описано кулю радіуса R. Радіус кулі, проведений до вершини призми, утворює з площиною її основи кут w. Визначити об'єм призми.

КОМБІНАЦІЯ ПРИЗМИ І ЦИЛІНДРА

1. а) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом w при вершині. Діагональ бічної грані, що містить основу цього трикутника, дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом а. Визначити бічну поверхню циліндра, описаного навколо призми.
б) Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом а при основі. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону цього трикутника, дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом w. Визначити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
2.  а) Основою призми є трикутник зі стороною с та прилеглими до неї кутами v і w. Діагональ бічної грані, що містить цю сторону трикутника, нахилена до площини основи під кутом a. Визначити об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
б) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом a. Діагональ бічної грані, що містить прилеглий до цього кута катет, дорівнює d і нахилеиа до площини основи під кутом w. Визна­чити об'єм циліндра, описаного навколо даної призми.
3.  а) Основою прямої призми є прямокутний трикутник з го­стрим кутом а. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу, дорів­нює d і нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм циліндра, вписаного в дану призму.
б) Основою прямої призми є трикутник з кутами w і v. Діагональ бічної грані, що містить сторону, для якої дані кути є прилеглими, дорівнює d і нахилена до площини основи під кутом a. Визначити об'єм циліндра, вписаного в дану призму.
4.  а) В основі прямої призми лежить прямокутник, діагональ якого утворює з більшою стороною кут w. Діагональ бічної грані призми, що містить меншу сторону прямокутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут а. Визначити бічну поверхню циліндра, описаного навколо даної призми.
б) Основою прямої призми є ромб з гострим кутом а. Діагональ бічної гранг призми дорівнює d і утворює з площиною основи кут w. Визначити бічну поверхню циліндра, вписаного в дану призму.
5.  а) Основою прямої призми є рівнобічна трапеція з гострим кутом а. Діагональ трапеції є бісектрисою гострого кута. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює d і утворює з площиною основи кут w. Визначити об'єм циліндра, описаного нав­коло даної призми.
б) У пряму призму, основою якої є рівнобічна трапеція з тупим кутом w, вписано циліндр. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трапеції, дорівнює а і нахилена до площини основи під кутом w. Визначити об'єм циліндра.



   Ð±ÑƒÐºÐ²Ð¸ в кутовий перспективі в композиції годин: 9 тис зображень знайдено в Яндекс.Зображення