Повторення теми МЕТОД координат для трикутника

Рівняння прямої

що проходить через дві дані точки

М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

(у – у_M):(у_N – у_M)  = (х – х_M):(х_N – х_M),

у = (х - х_м)(у_N – у_м):(х_N - х_м) + у_м,

Умова належності трьох точок: 

А(х_а; у_а), В(х_b; у_b), C(х_c; у_c)

одній прямій

х_ау_b + х_bу_c + х_cу_a - х_cу_b – х_aу_c – х_bу_a = 0.

Відстань між двома точками М(х_M; у_M) і N(х_N; у_N)

обчислюється за формулою:

МN =[(х_N - х_M)²+(у_N - у_M)²]^0,5.

Приклад. Довести, що  трикутник АВС рівнобедрений, прямокутний, якщо А(1;0), В(1;3), С(4;3).
Розв’язання
Знайти довжини сторін

АВ =[(1- 1)²+(3 - 0)²]^0,5 = 3.

ВС =[(4- 1)²+(3 - 3)²]^0,5 = 3.
АС =[(4- 1)²+(3- 0)²]^0,5 = 3(2^0,5).
Оскільки АВ=ВС, то трикутник АВС – рівнобедрений, первіримо теорему Піфагора:
АВ² + ВС² = АС² ,  3² + 3² = 3²(2^0,5)²,
18=18, виконується теорема Піфагора, а значить трикутник АСВ – прямокутний.
Отже, трикутник АСВ – рівнобедрений і прямокутний.
2. Дано вершини чотирикутника А(6; -1), В(5; 1), С(1; 2) і D(2;-4). Довести, що АС+ВD.

Рівняння прямої у відрізках(канонічна форма)

x:а + y:b = 1,

де а і b довжини відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).

Нормальне рівняння прямої

xсоsа + ysinа – p = 0,

де р довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між  перпендикуляром р і додатним  напрямом осі Ох. 

Загальне рівняння прямої

аx + by + c = 0

де а²+ b²≠ 0

n(a; b)  - нормальний вектор(перпендикулярний до прямої).

Завдання для самостійного дослідження.

-7. Дано три точки А(0; 1),  В(1; 0),  С(1; 1). Який вид трикутника АВС? Знайдіть відстань  від початку координат до центра кола, описаного навколо цього трикутника.  Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного трикутника.

-6. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( -8; 8),  В( -2; 6),  С( 0; -10), D(-6;-8)? .  Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.

-5. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( 4; -4),  В( 1; -3),  С(0; 5), D(-1;4)? Запишіть  рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.

-4. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка SP, де S(-5; 1), P(-3; 5).

-3. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(2; 5), В(6; 3).

-2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку К(-1,5; 0,5) прямокутної системи хОу і перпендикулярна до прямої, що задана рівнянням -5х + 7у = -11.

-1. Знайти рівняння прямої, що є серединним перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(-5; -2), В(2; 3).

0. Знайти найкоротшу відстань від початку координат О(0; 0) прямокутної системи хОу до точок, які належать прямій, що задана рівнянням х + у = 8.

1. Знайти координати точки перетину графіка  у = - 0,75х – 12 з віссю абсцис.

Властивості загального рівняння прямої

Деякі випадки рівняння прямої:

1)              якщо  с = 0, то аx + by = 0 - це рівняння прямої, що проходить через початок координат.

2)             якщо  b = 0(a ≠ 0), то x = -c:a - це рівняння прямої, що паралельна осі ординат Оу і проходить через точку (-c:a; 0) .

3)             якщо b = 0, a ≠ 0, с = 0, то x = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю ординат Oy.

4)             якщо  а = 0, b ≠ 0, с = 0, то y = 0 - це рівняння прямої, що являється віссю абсцис Ох.

5)             якщо  b ≠ 0 (a = 0), то x = -c:b - це рівняння прямої, що паралельна осі абсцис Ох і проходить через точку (0;-c:b) .

Відстань від точки М(х_м; у_м) до прямої

xсоsа + ysinа – p = 0

d = |х_м соsа + у_м sinа – p|

Відстань від точки М(х_м; у_м) до прямої

аx + by + c = 0

d = |aх_м + bу_м + c|:(а²+ b²)^0,5.

Кут  між двома прямими

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

обчислюється за формулами:

tgj =|(а₂b₁ + b₂а₁):(а₁a₂ + b₁b₂)|;

cosj =|а₁a₂ + b₁b₂|:[(а₁² + b₁²)^0,5(а₂² + ₂²)^0,5].

Умова паралельності двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁ :a₂ = b₁ :b₂ ≠ с₁ :с₂

Умова накладання двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁ :a₂ = b₁ :b₂ = с₁ :с₂

Умова перпендикулярності двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0

а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁a₂ + b₁b₂ = 0.

Умова непаралельності або перетину двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

а₁ :a₂ ≠  b₁ :b₂ .

Точка М(х_м; у_м) перетину двох прямих

а₁x + b₁y + c₁ = 0,    а₂x + b₂y + c₂ = 0

х_м = (b₂c₁ - c₂b₁):(а₁b₂ – b₁а₂);

у_м = (а₁c₂ - a₂c₁):(а₁b₂ – b₁а₂).

Завдання для самостійного дослідження.

1. В якій точці перетинаються прямі у + х =7 та 2х + 2у = 10?

     А)  ( 1; 6) ;  Б)  (3 ; 2) ;  В) прямі співпадають;  Г) прямі паралельні.

2. В якій точці поретинаються прямі 2х +2у = 5 і  4х + 2у = 7?

     А) (3; 4);    Б) прямі паралельні;   В) ( 1; 1,5);  Г) прямі співпадають.

3. В якій точці перетинаються прямі  1,5х – 4у = 6  і   6х – 16у = 24?

     А) ( 4; 0);  Б) прямі паралельні;   В) прямі співпадають; Г) ( 9; 3,75).

4. В якій точці перетинаються прямі  2х + 2у = - 2 і  -10х + 5у = - 0,5.

     А) прямі паралельні;   Б) (-0,7; -0,3);  В) ( -0,3 ; -0,7) ;  Г) прямі співпадають.

5. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b, якщо графік цієї функції проходить через точку А( - 3; k )  і число b більше за число k на 6.

     А) у = 2х + 8;   Б) у = 2х + 4;   В) у = х + 8;  Г) у = х + 4.

6. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b , якщо графік цієї функції проходить через точку С( -2; 2b) і число b більше числа k на 12.

      А) у = 4х – 8;   Б) у = - 4х + 8;  В) у = - 0, 25х – 4;  Г) у = 0,25х + 4.

7. Графіки функцій  у = ax + 3  i   y = ( 2 – a )x + a   перетинаються в точці з абсцисою  - 1. Знайдіть ординату точки перетину.

     А)  ;   Б) ;    В) ;   Г) .

8. Графіки функцій   у = ( 4 – а)х + а  і  у = ах – 2  перетинаються в точці з абсцисою   -2. Знайдіть ординату точки перетину.

      А) 4,8;   Б) 3,5;    В)  - 4,4;    Г)  -3,5.

9. Визначити координати точок перетину з осями координат графіка функції  у = 2,5х – 5 і обчислити площу утвореного трикутника.

     А) 10;  Б) 5;  В) 2;  Г) власна відповідь.

10. Визначити координати точок перетину  з осями координат графіка функції  у = 7 – 3,5х і обчислити площу утвореного трикутника.

     А) 3,5;  Б) 14;  В) 7;  Г)  власна відповідь.

Модуль 7

Рівняння висоти, медіани трикутника

Множина прямих задана формулою:

аx + by + c = 0

а) якщо а і b – фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються),  тоді маємо пучок паралельних прямих, який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b) – це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx + by + c = 0;

б) якщо а і с – фіксовані числа і а ≠ 0(не змінюються),

b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто, прямої у = 0;

в) Якщо b і с фіксовані числа і b ≠ 0(не змінюються),  а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які перетинаються в точці (0; -с/ b), за виключенням осі Оy, тобто,  прямої х = 0.

г) якщо паралельні прямі задані рівняннями: аx + by + с₁= 0,  аx + by + с₂= 0, то формула відстані  h між паралельними прямими: h = |с₁ – с₂|:(а² + b ²)^0,5.

д) якщо трикутник в декартовій системі xOy

заданий рівняннями прямих

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

тоді рівняння висоти, що опущена на l₃:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂A₃ + B₂B₃) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₁A₂ + B₁B₂)

рівняння медіани, що проходить через точку перетину l₁ та l₂:

(A₁x + B₁y + C₁)(A₂B₃ – A₃B₂) = (A₂x + B₂y + C₂)(A₃B₁ + A₁B₃).

Ці прямі утворюють трикутник тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник V третього порядку, що утворений з трьох векторів: (A₁; B₁; C₁), (A₂; B₂; C₂), (A₃; B₃; C₃), тобто вираз V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃ ≠ 0

 Площа трикутника S, що задана трьома рівняннями прямих:

l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0,

l₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0,

l₃: A₃x + B₃y + C₃ = 0,

обчислюється за формулою:

S = 0,5(V)²:(А₁B₂- А₂B₁)(А₂B₃- А₃B₂)(А₃B₁- А₁B₃),

де  V = A₁B₂C₃+ C₁A₂B₃+ B₁C₂A₃- A₃B₂C₁ - A₁B₃C₂- A₂B₁C₃.