Рівняння прямої
що проходить через дві дані точки
М(хM; уM) і N(хN; уN)
(у – уM):(уN – уM) =
(х – хM):(хN – хM),
у
= (х - хм)(уN – ум):(хN - хм) + ум,
Умова належності трьох точок:
А(ха; уа),
В(хb; уb), C(хc; уc)
одній
прямій
хауb + хbуc + хcуa - хcуb – хaуc – хbуa = 0.
Відстань між двома точками М(хM; уM) і N(хN; уN)
обчислюється за формулою:
МN =[(хN - хM)2+(уN - уM)2]0,5.
Приклад. Довести,
що трикутник АВС
рівнобедрений, прямокутний, якщо А(1;0), В(1;3), С(4;3).Розв’язання
Знайти довжини сторін
АВ =[(1- 1)2+(3 - 0)2]0,5 = 3.
ВС =[(4- 1)2+(3 - 3)2]0,5 = 3.АС =[(4- 1)2+(3- 0)2]0,5 = 3(20,5).
Оскільки АВ=ВС, то трикутник АВС – рівнобедрений, первіримо теорему Піфагора:
АВ2 + ВС2 = АС2 , 32 + 32 = 32(20,5)2,
18=18, виконується теорема Піфагора, а значить трикутник АСВ – прямокутний.
Отже, трикутник АСВ – рівнобедрений і прямокутний.
2. Дано вершини чотирикутника А(6; -1), В(5; 1), С(1; 2) і D(2;-4). Довести, що АС+ВD.
Рівняння прямої у відрізках(канонічна
форма)
x:а + y:b = 1,
де а
і b довжини
відрізків , як відтинає пряма на осях координат, починаючи від точки (0; 0).
Нормальне рівняння прямої
xсоsа + ysinа – p = 0,
де р
довжина перпендикуляра від точки (0; 0) до даної прямої , а – це кут між
перпендикуляром р і додатним напрямом осі Ох.
Загальне рівняння прямої
аx + by + c = 0
де а2+ b2≠
0
n(a; b) - нормальний
вектор(перпендикулярний до прямої).
Завдання для самостійного дослідження.
-7. Дано три точки А(0; 1), В(1; 0),
С(1; 1). Який вид трикутника АВС? Знайдіть відстань від початку координат до центра кола,
описаного навколо цього трикутника.
Запишіть
рівняння прямих, що містять сторони даного трикутника.
-6. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( -8; 8), В( -2; 6),
С( 0; -10), D(-6;-8)? . Запишіть рівняння прямих, що містять сторони даного
чотирикутника.
-5. Який вид чотирикутника ABCD, якщо А( 4; -4), В( 1; -3),
С(0; 5), D(-1;4)? Запишіть
рівняння прямих, що містять сторони даного чотирикутника.
-4. Знайти рівняння прямої, що є серединним
перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка SP, де S(-5;
1), P(-3; 5).
-3. Знайти рівняння прямої, що є серединним
перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(2;
5), В(6; 3).
-2. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку
К(-1,5; 0,5) прямокутної системи хОу і перпендикулярна до прямої, що задана
рівнянням -5х + 7у = -11.
-1. Знайти рівняння прямої, що є серединним
перпендикуляром в прямокутній системі координат хОу для відрізка АВ, де А(-5;
-2), В(2; 3).
0. Знайти найкоротшу
відстань від початку координат О(0; 0) прямокутної системи хОу до точок, які
належать прямій, що задана рівнянням х + у = 8.
1. Знайти координати точки перетину графіка у = - 0,75х – 12 з віссю абсцис.
Властивості загального рівняння прямої
Деякі випадки рівняння прямої:
1)
якщо с = 0, то аx + by = 0 - це рівняння
прямої, що проходить через початок координат.
2)
якщо b = 0(a ≠ 0), то x = -c:a - це рівняння
прямої, що паралельна осі ординат Оу і проходить через точку (-c:a; 0) .
3)
якщо b = 0, a ≠ 0, с = 0, то x = 0 - це рівняння
прямої, що являється віссю ординат Oy.
4)
якщо а = 0, b ≠ 0, с = 0, то y = 0 - це рівняння
прямої, що являється віссю абсцис Ох.
5)
якщо b ≠ 0 (a =
0), то x = -c:b - це рівняння
прямої, що паралельна осі абсцис Ох і проходить через точку (0;-c:b) .
Відстань
від точки М(хм; ум)
до прямої
xсоsа + ysinа – p = 0
d = |хм соsа + ум sinа – p|
Відстань
від точки М(хм; ум)
до прямої
аx + by + c = 0
d =
|aхм + bум +
c|:(а2+ b2)0,5.
Кут між двома прямими
а1x + b1y + c1 = 0, а2x + b2y + c2 = 0
обчислюється за формулами:
tgj
=|(а2b1 + b2а1):(а1a2 + b1b2)|;
cosj =|а1a2 + b1b2|:[(а12 + b12)0,5(а22 + 22)0,5].
Умова
паралельності двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0, а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 = b1 :b2 ≠ с1 :с2
Умова накладання
двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0, а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 = b1 :b2 = с1 :с2
Умова
перпендикулярності двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0
а2x + b2y + c2 = 0
а1a2 + b1b2 = 0.
Умова
непаралельності або перетину двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0, а2x + b2y + c2 = 0
а1 :a2 ≠ b1 :b2 .
Точка М(хм;
ум) перетину
двох прямих
а1x + b1y + c1 = 0, а2x + b2y + c2 = 0
хм = (b2c1 - c2b1):(а1b2 – b1а2);
ум = (а1c2 - a2c1):(а1b2 – b1а2).
Завдання для самостійного дослідження.
1. В якій точці перетинаються прямі у + х =7 та 2х
+ 2у = 10?
А) ( 1; 6) ; Б) (3
; 2) ; В) прямі співпадають; Г) прямі паралельні.
2. В якій точці поретинаються прямі 2х +2у = 5
і 4х + 2у = 7?
А) (3; 4); Б) прямі
паралельні; В) ( 1; 1,5); Г) прямі співпадають.
3. В якій точці перетинаються прямі 1,5х – 4у = 6
і 6х – 16у = 24?
А) ( 4; 0); Б) прямі
паралельні; В) прямі співпадають; Г) (
9; 3,75).
4. В якій точці перетинаються прямі 2х + 2у = - 2 і -10х + 5у = - 0,5.
А) прямі паралельні; Б) (-0,7;
-0,3); В) ( -0,3 ; -0,7) ; Г) прямі співпадають.
5. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b, якщо графік цієї функції проходить через точку А( - 3; k ) і число b більше за число k на
6.
А) у = 2х + 8; Б) у = 2х + 4; В) у = х + 8; Г) у = х + 4.
6. Знайдіть формулу, якою задається функція у = kx + b , якщо графік цієї функції проходить через точку
С( -2; 2b) і число b більше числа k на 12.
А) у = 4х – 8; Б) у = - 4х + 8; В) у = - 0, 25х – 4; Г) у = 0,25х + 4.
7. Графіки функцій
у = ax + 3 i y = ( 2 – a )x + a перетинаються в точці з абсцисою - 1. Знайдіть ординату точки перетину.
А) 
; Б) 
; В) 
; Г) 
.
; Б) ; В) ; Г) .
8. Графіки функцій у = ( 4 – а)х + а і у =
ах – 2 перетинаються в точці з абсцисою -2. Знайдіть ординату точки перетину.
А) 4,8;
Б) 3,5; В) - 4,4;
Г) -3,5.
9. Визначити координати точок перетину з осями
координат графіка функції у = 2,5х – 5 і
обчислити площу утвореного трикутника.
А) 10; Б) 5; В) 2;
Г) власна відповідь.
10. Визначити координати точок перетину з осями координат графіка функції у = 7 – 3,5х і обчислити площу утвореного
трикутника.
А) 3,5;
Б) 14; В) 7; Г) власна відповідь.
Модуль 7
Рівняння висоти, медіани трикутника
Множина прямих
задана формулою:
аx + by + c = 0
а) якщо а і b –
фіксовані числа(не змінюються), не рівні нулю, а число с – довільні числа(змінюються),
тоді маємо пучок паралельних прямих,
який визначає направляючий вектор з координатами (-b, а). Вектор з координатами (а; b)
– це перпендикулярний вектор до прямої, що задана рівнянням аx + by + c = 0;
б) якщо а і с – фіксовані числа і а
≠ 0(не змінюються),
b - довільні числа (змінюються), то маємо пучок прямих,
які перетинаються в точці (-с/а; 0), за виключенням осі Ox, тобто,
прямої у = 0;
в) Якщо b і с фіксовані числа і b ≠ 0(не змінюються),
а – довільні числа(змінюються), то маємо пучок прямих, які
перетинаються в точці (0; -с/ b),
за виключенням осі Оy, тобто, прямої х = 0.
г) якщо паралельні прямі задані
рівняннями: аx
+ by
+ с1= 0, аx + by + с2= 0, то формула
відстані h між паралельними прямими: h = |с1
– с2|:(а2
+ b
2)0,5.
д) якщо трикутник в декартовій системі xOy
заданий рівняннями прямих
l1: A1x + B1y + C1 = 0,
l2: A2x
+ B2y
+ C2 = 0,
l3: A3x
+ B3y
+ C3 = 0,
тоді рівняння висоти, що опущена на l3:
(A1x + B1y + C1)(A2A3
+ B2B3) = (A2x + B2y + C2)(A1A2
+ B1B2)
рівняння медіани,
що проходить через точку перетину l1
та l2:
(A1x + B1y + C1)(A2B3
–
A3B2) = (A2x + B2y + C2)(A3B1 +
A1B3).
Ці прямі утворюють трикутник
тоді і тільки тоді,коли не рівний нулю визначник
V третього
порядку, що утворений з трьох векторів: (A1; B1; C1), (A2; B2; C2), (A3; B3; C3), тобто вираз V = A1B2C3+ C1A2B3+ B1C2A3- A3B2C1 - A1B3C2- A2B1C3 ≠ 0
Площа
трикутника
S, що задана
трьома рівняннями прямих:
l1: A1x
+ B1y + C1 =
0,
l2: A2x
+ B2y
+ C2 = 0,
l3: A3x + B3y + C3 = 0,
обчислюється за формулою:
S = 0,5(V)2:(А1B2- А2B1)(А2B3- А3B2)(А3B1- А1B3),
де V = A1B2C3+
C1A2B3+ B1C2A3-
A3B2C1 - A1B3C2-
A2B1C3.
