Рівняння геометричних фігур

Еліпс та його властивості

Порядок кривої визначається степенем рівняння кривої.

Означення. Коло  з центром в точці С та радіусом R – це геометричне місце точок площини, що рівновіддалені від точки С на відстань R.

Рівняння кола:

(х - а)² + (у - b)² = R²,

де С(а; b) – центр кола, R – радіус кола.

У полярній системі координат рівняння кола з центром в полюсі має вигляд  r = R.

Означення. Эліпс – це геометричне місце точок, для яких  сума відстаней від двох   заданих   точок   (фокусів)   являється величиною постійною, кожна із цих відстаней (фокальний  радіус-вектор) дорівнює:

r₁ = МF₁ = а - ex;      r₂ = МF₂ = а + ex,       r₁ + r₂ =2a,

AВ – велика вісь еліпса, її відстань  дорівнює 2а ; СD – мала вісь її відстань дорівнює 2b; А, В, С, D – вер­шини еліпса; О – центр; F₁, F₂ – фокуси,  це дві точки, що лежать на великій вісі по обидва боки від центру на відстані  с = (a² + b²)^0,5.

   x²a ^-2 + y²b ^-2 = 1 – це канонічне рівняння еліпса,

х = аsint, y = bcost (0 <= t <= 2p) – це параметричне рівняння еліпса,

r = p(1 + ecosj)^-1  - це рівняння еліпса в полярних координатах.

r₁ + r₂ =2a, - сума відстаней від фокусів F₁ та F₂ до довільної точки еліпса.

АВ – велика піввісь еліпса.

CD – маленька піввісь еліпса.

 с = (a² + b²)^0,5 піввідстань між фокусами.

p = b²a ^-1 фокальний параметр еліпса(половина хорди, проведена через фокус парлельно малій вісі.).

e =ca ^-1 – ексцентриситет еліпса (e <1).

Фокуси еліпса F₁ та F₂.

Директриси – це дві прямі, що паралельні  малій вісі і розташовані на відстані d = ae ^-1 від неї.

Діаметри – це хорди, що проходять через центр еліпса; вони в центрі діляться навпіл.  Геометричне місце середин хорд, що паралельні одному із діаметрів еліпса, називається діаметром, що спряжений із заданим діаметром. Якщо

k₁ =  tga

k₂ = tgb

кутові коефіцієнти  спряжених діаметрів, то  k₁k₂ = - b²a^-2.

Дотична до еліпса у точці М (х₁; у₁) має рівняння

xх₁a ^-2 + yу₁b ^-2 = 1.

Пряма  Ах + Ву - С = 0 дотикається до еліпса при умові

А²а² + В²b² - С² = 0.

Радіус     кривизни    в    точці М (х₀; у₀)

R = а² b²(x₁х₁a ^-4 + y₁у₁b^-4)^1,5 = (ab) ^-1(r₁ r₂)^1,5 = psin^-2j,

де j  - кут між дотичною  та радіусом-вектором точки дотику.

Площа  еліпса

S =  pab.

Площа  сектора еліпса

S_ВОМ = 0,5ab*arсcos(xa^-1).

Площа   сегмента еліпса

S_МВN =ab*arсcos(xa^-1) - xy.

Площа фігури, що обмежена рівнянням

ax² + bxy + cy² = 1

обчислюються за формулою  S = 2p(4ac-b²)^-0,5.

КОЛО. ВЛАСТИВОСТІ КОЛА

Коло ‒ це геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається центром кола, є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.

Коло з центром у точці О і радіусом r позначають О(r).

Інструментом для побудови кола є циркуль ‒ один із основних інструментів геометрії.

Термінологія та елементи кола.

Внутрішню частину кола, тобто геометричне місце точок, віддаль яких до центра кола не перевищує радіус, називають кругом.

Відрізок прямої, що сполучає дві точки кола називається хордою. Найдовша з хорд  - це діаметр кола, ця найбільша хорда проходить через центр кола. Діаметр кола дорівнює двом радіусам.

Пряма може не мати з колом спільних точок, може мати з колом одну спільну точку (така пряма називається дотичною до кола) або може мати з ним дві спільні точки (така пряма називається січною до кола).

Дотична до кола завжди перпендикулярна до його діаметра, один з кінців якого є точкою дотику.

Хорда, січна, дотична, діаметр.

Дуга, сектор та сегмент

Дві точки на колі розбивають коло на дві дуги. Кут між двома радіусами, проведеними до двох точок на колі, називається центральним. Область круга, обмежена двома радіусами й дугою називається сектором кола. Область круга, обмежена хордою та дугою, називається сегментом.

Означення кола

Алгебраїчне означення

Коло радіуса r = 1, з центром (a, b) = (1.2, -0.5)

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, з центром в точці (a, b) описується стандартним рівнянням кола:

 (х - а)² + (у - b)² = R²,

де С(а; b) – центр кола, R – радіус кола.

У полярній системі координат рівняння кола має вигляд  r = R.

Це рівняння випливає з теореми Піфагора, при її застовуванні до кожної точки кола, як показано на рисунку справа, де радіус це гіпотенуза прямокутного трикутника, катети якого x − a та y − b. Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), тоді рівняння спрощується до такого вигляду:

  х² + у² = R²,

Загальне рівняння кола:

ах² + аy² + dx + ey + f = 0,

де  а≠0, d,  e, f  - відомі дійсні числа,  х, у – змінні. Виділенням повних квадратів відносно змінної х та відносно змінної у, це рівняння можна звести до  вигляду:  (х - а)² + (у - b)² = R².

Наприклад для рівняння:  х² + y² + dx + ey + f = 0,

x² + dx + 0,25d² + y²+ ey+ 0,25e² = −f+0,25d²+0,25e²

(x + 0,5d)² + (y + 0,5e)²= −f + 0,25d² + 0,25e²

Якщо відомі координати трьох точок на площині

(х₁; у₁),  (х₂; у₂), (х₃; у₃),

то рівняння кола, яке проходить через ці точки можна записати через визначник det A = 0 квадратної матриці А четвертого порядку, що має вигляд:

А =(	х2 + y2	х	у	1	)
	х12 + y12	х1	у1	1
	х22 + y22	х2	у2	1
	х32 + y32	х3	у3	1

Або розв’язати систему трьох лінійних рівнянь:

Параметричне означення кола.

Коло на площині, даного радіуса r, у певній вибраній декартовій системі координат x і y, описується системою рівнянь:

 x = a + r*cost

 y = b + r*sint

де параметр  t ‒ пробігає значення від 0 до  2π.

З геометричної точки зору це кут до осі x, променя проведеного з початку координат до точки (x, y). Якщо записати x та y через параметр t, отримаємо:

 x = a + r(1 ‒ t²)(1 + t²)^-1

 y = b + 2rt(1 + t²)^-1.

Полярні координати рівняння кола.

Рівняння кола в полярних координатах:

   r² ‒ 2rr₀ cos(θ – φ) + r₀² = a²

де a – радіус кола, r₀ ‒ відстань від початку координат до центру кола та φ – кут відкладений проти годинникової стрілки від додатньої осі x до лінії що з’єднує початок координат з центром кола.

Для кола, центр якого знаходиться в початку координат r₀ = 0, це рівняння спрощується до вигляду r = a. Якщо r₀ = a або якщо початок координат лежить на колі, тоді отримуємо рівняння:

  r = 2acos(θ – φ).

В загальному випадку, рівняння можна розв’язати для r:

r = 2r₀cos(θ – φ)+( a² ‒ r₀²sin²(θ – φ))^0,5.

Розвязок із знаком мінус перед коренем дає ідентичну криву.

Рівняння кола на комплексній площині:

  |z –z₀| = R

або в параметричному вигляді

   z = z₀+ Re^it, t є R

Означення Аполлонія

  d₁(d₂)^-1 = const

Аполлоній із Перги показав, що коло можна також задати як множину точок на площині, які мають однакове відношення відстаней до двох фокусів A і B. Про таке коло іноді кажуть, що воно задане двома точками.

ВЛАСТИВОСТІ КОЛА

Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло, і притому тільки одне.

Точка дотику двох кіл лежить на прямій, що проходить через їхні центри.

Відстань між колами, що не мають спільних точок – це відрізок, що лежить на прямій між двома колами, що проходить через їхні центри.

Ізопериметрична нерівність: З усіх замкнутих кривих даної довжини коло обмежує область максимальної площі.

Вписаний кут або дорівнює половині центрального кута, що спирається на його дугу, або доповнює половину цього кута до 180°.

Два вписаних кути, що спираються на одну й ту ж дугу, рівні.

Вписаний кут, що спирається на дугу довжиною в половину кола дорівнює 90°.

Кут між двома січними, проведеними з точки, що лежить поза колом дорівнює піврізниці мір дуг, що лежать між січними.

Кут між хордами, що перетинаються дорівнює півсумі мір дуги, що лежить у куті і дуги навпроти неї.

Кут між дотичною та хордою дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

Відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки, рівні й утворюють рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.

При перетині двох хорд добуток відрізків, на які ділиться одна з них точкою перетину, дорівнює добутку відрізків на які ділиться інша.

Добуток довжин відстаней від обраної точки до двох точок перетину кола та січної, що проходить через обрану точку, не залежить від вибору січної і дорівнює абсолютній величині ступені точки відносно кола.

Квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку довжин відрізків січної і дорівнює абсолютній величині міри точки відносно кола.

Довжина кола і площа круга

Довжину дуги кола з радіусом R, утвореного центральним кутом j, виміряним у радіанах, можна обчислити за формулою

 L = Rj.

Довжину кола з радіусом R можна обчислити за формулою

 C = 2πR. С» 6,28R

де π  ‒ число пі, яке визначається як відношення довжини кола до його діаметра.

Площа обмеженого колом круга дорівнює

S = πR²=  0,25 πD².  S » 3,14R².

де   D = 2R ‒ діаметр.

Історична довідка.

Упродовж багатьох століть математиків цікавила задача про квадратуру кола: побудову за допомогою лінійки та циркуля квадрату з площею, що дорівнювала б площі круга. Ця задача не має розв'язку, оскільки число пі трансцедентне, що довів у 1882 Фердинанд фон Ліндеманн.

Коло як конічний переріз

Коло є простою плоскою кривою другого порядку і класифікується як один із видів конічного перетину. У вужчому сенсі коло ‒ це окремий випадком еліпса, тобто еліпс із однаковими півосями, або іншими словами коло є еліпсом із одиничним ексцентриситетом.

Дотичні і нормалі

Рівняння дотичної до кола в точці (х₁; у₁) визначається рівнянням

(0,5А + х₁)х + (0,5В + у₁)у +( 0,5Ах₁ + 0,5Ву₁  + С) = 0,

де A, B і С ‒ коефіцієнти в загальному рівнянні кола.

Рівняння нормалі в цій же точці (х₁; у₁) можна записати як

 (х ‒ х₁)(2х₁ + А)^-1 = (у ‒ у₁)(2у₁ + В)^-1.

Цікаві посилання

Коло (PlanetMath.org вебсайт)

Weisstein, Eric W. Circle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Інтерактивні Java додатки для ілюстрації властивостей та елементарних побудов із колами.

Коло на сайті cut-the-knot

Категорії:

Геометрія

Кола

Геометричні фігури

Криві другого порядку

Далі покажемо штучні прийоми, які дозволяють загальне рівняння (1) зводити до спеціальних видів, коли рівняння є неповним та канонічним. Якщо ліву частину рівняння (1) розглядати, як функцію від двох змінних, то можна виконувати на нею  повороти та паралельне перенесення, не деформуючи саму поверхню другого порядку, однак при цьому змінюється деякі коефіцієнти формули.

Згідно відомих фактів із теорії руху фігур на площині, при паралельному  переносі початок координат змінюється  за формулами:

х = х_{початок} + х_нові,

у = у_{початок} + у_нові,

де  (х; у) – старі координати довільної точки,

(х_поч; у_поч) – координати нового початку в старій системі координат, (х_нов; у_нов) – нові координати довільної точки.

Покажемо як технічно знаходити значення (х_поч; у_поч) координати нового початку в старій системі координат  так,  щоб спростити вигляд лівої частини (1).

Розглянемо  квадратичну функцію від двох змінних:

Q(х; у) = ax² + bxy + cy² + dx + ey + f                 (2)

Виконаємо паралельне перенесення системи координат по формулам (3) для того, щоб у позбутися лінійних доданків dx та ey у записі Q(х; у):

х = m + х_н,  

                       у = n + у_н,                   (3)

де  (х; у) – старі координати довільної точки,

(m; n) – координати нового початку в старій системі координат,

(х_н; у_н) – нові координати довільної точки.

У функції (2) виконаємо заміну (3), тобто точку (х; у) замінимо відповідно на точку (m + х_н; n + у_н):                      .

                                                             

Q(х; у) = Q(m + х_н; n + у_н) =

=а(m + х_н)² + b(m + х_н)(n + у_н) + c(n + у_н)² + d(m + х_н) + e(n + у_н) + f =  aх_н ² + 2amх_н + am²  +

+ bх_ну_н + bnх_н + bmу_н + bmn +

+ cy_н ² + 2cny_н + cn² +

+ dm + dх_н + en + eу_н + f =

= aх_н ² + bх_ну_н + cy_н ² +

+ 2(am + 0,5bn + 0,5d)х_н +

+ 2(cn + 0,5bm + 0,5e)y_н +

+ am²  + bmn + cn² + dm + en + f.                   (4)

Для того, щоб зникли  лінійні доданки  2(am + 0,5bn + 0,5d)х_н та

2(am + 0,5bm + 0,5e)y_н, треба прирівняти до нуля коефіцієнти:

am + 0,5bn + 0,5d = 0,

cn + 0,5bm + 0,5e = 0.                        (5)

Два рівняння (5) являють собою неоднорідну систему лінійних рівнянь з двома невідомими m та n.

am + 0,5bn = - 0,5d,

0,5bm  + cn = - 0,5e.                         (6)                   

Якщо (ac-0,25b²)^-1 ≠ 0, тоді існує єдиний розв’язок системи рівнянь (6), який  має вигляд:

m = (0,25be -0,5dc)(ac-0,25b²)^-1,

n = (0,25bd -0,5ae)(ac-0,25b²)^-1.

Якщо (ac-0,25b²)^-1 = 0, тоді можливі два випадки:

а)існує безліч розв’язків системи рівнянь (6),

б) не існує розв’язків системи рівнянь (6).